Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81984 / 114752
↖ ↑ ↗
← S 79.204309°
E 45.175781°		 ← 57.21 m → S 79.204309°
E 45.178528°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
S 79.204824°
E 45.175781°		 ← 57.21 m →
3 273 m²		 S 79.204824°
E 45.178528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625492095947266 y=0.875492095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625492095947266 × 217)
    floor (0.625492095947266 × 131072)
    floor (81984.5)     		tx = 81984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875492095947266 × 217)
    floor (0.875492095947266 × 131072)
    floor (114752.5)     		ty = 114752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81984 / 114752 ti = "17/81984/114752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81984/114752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81984 ÷ 217
    81984 ÷ 131072     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114752 ÷ 217
    114752 ÷ 131072     		y = 0.87548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87548828125 × 2 - 1) × π
    -0.7509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35926245170068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35926245170068))-π/2
    2×atan(0.0944898883588949)-π/2
    2×0.0942101726894681-π/2
    0.188420345378936-1.57079632675     		φ = -1.38237598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38237598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.204309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81984 KachelY 114752 0.78846612 -1.38237598 45.175781 -79.204309
    Oben rechts KachelX + 1 81985 KachelY 114752 0.78851406 -1.38237598 45.178528 -79.204309
    Unten links KachelX 81984 KachelY + 1 114753 0.78846612 -1.38238496 45.175781 -79.204824
    Unten rechts KachelX + 1 81985 KachelY + 1 114753 0.78851406 -1.38238496 45.178528 -79.204824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38237598--1.38238496) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38237598--1.38238496) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78851406) × cos(-1.38237598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18730743385405 × 6371000     		do = 57.2085115923368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78851406) × cos(-1.38238496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187298612780453 × 6371000     		du = 57.2058174094057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38237598)-sin(-1.38238496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18730743385405-0.187298612780453)×R²
    abs(0.78851406-0.78846612)×8.82107359753692e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82107359753692e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82107359753692e-06×40589641000000     		ar = 3272.91226835767m²