Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81984 / 16448
↖ ↑ ↗
← N 79.138261°
E 45.175781°		 ← 57.55 m → N 79.138261°
E 45.178528°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.137743°
E 45.175781°		 ← 57.56 m →
3 315 m²		 N 79.137743°
E 45.178528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625492095947266 y=0.125492095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625492095947266 × 217)
    floor (0.625492095947266 × 131072)
    floor (81984.5)     		tx = 81984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125492095947266 × 217)
    floor (0.125492095947266 × 131072)
    floor (16448.5)     		ty = 16448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81984 / 16448 ti = "17/81984/16448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81984/16448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81984 ÷ 217
    81984 ÷ 131072     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16448 ÷ 217
    16448 ÷ 131072     		y = 0.12548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12548828125 × 2 - 1) × π
    0.7490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35312652854932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35312652854932))-π/2
    2×atan(10.51840446045)-π/2
    2×1.47600976693526-π/2
    2.95201953387053-1.57079632675     		φ = 1.38122321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38122321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.138261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81984 KachelY 16448 0.78846612 1.38122321 45.175781 79.138261
    Oben rechts KachelX + 1 81985 KachelY 16448 0.78851406 1.38122321 45.178528 79.138261
    Unten links KachelX 81984 KachelY + 1 16449 0.78846612 1.38121417 45.175781 79.137743
    Unten rechts KachelX + 1 81985 KachelY + 1 16449 0.78851406 1.38121417 45.178528 79.137743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38122321-1.38121417) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38122321-1.38121417) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78851406) × cos(1.38122321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188439676666111 × 6371000     		do = 57.5543276910701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78851406) × cos(1.38121417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188448554704699 × 6371000     		du = 57.5570392725754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38122321)-sin(1.38121417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188439676666111-0.188448554704699)×R²
    abs(0.78851406-0.78846612)×8.87803858762304e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87803858762304e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87803858762304e-06×40589641000000     		ar = 3314.85282550134m²