Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81984 / 49216
↖ ↑ ↗
← N 40.847060°
E 45.175781°		 ← 231.04 m → N 40.847060°
E 45.178528°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
N 40.844983°
E 45.175781°		 ← 231.05 m →
53 374 m²		 N 40.844983°
E 45.178528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625492095947266 y=0.375492095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625492095947266 × 217)
    floor (0.625492095947266 × 131072)
    floor (81984.5)     		tx = 81984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375492095947266 × 217)
    floor (0.375492095947266 × 131072)
    floor (49216.5)     		ty = 49216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81984 / 49216 ti = "17/81984/49216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81984/49216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81984 ÷ 217
    81984 ÷ 131072     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49216 ÷ 217
    49216 ÷ 131072     		y = 0.37548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782330201799316))-π/2
    2×atan(2.18656146322248)-π/2
    2×1.14185600987614-π/2
    2.28371201975227-1.57079632675     		φ = 0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81984 KachelY 49216 0.78846612 0.71291569 45.175781 40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 81985 KachelY 49216 0.78851406 0.71291569 45.178528 40.847060
    Unten links KachelX 81984 KachelY + 1 49217 0.78846612 0.71287943 45.175781 40.844983
    Unten rechts KachelX + 1 81985 KachelY + 1 49217 0.78851406 0.71287943 45.178528 40.844983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71291569-0.71287943) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71291569-0.71287943) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78851406) × cos(0.71291569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 231.04177801538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78851406) × cos(0.71287943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756481825037431 × 6371000     		du = 231.049021208456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71291569)-sin(0.71287943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.756481825037431)×R²
    abs(0.78851406-0.78846612)×2.3715070893604e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3715070893604e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3715070893604e-05×40589641000000     		ar = 53374.3661419092m²