Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81986 / 114754
↖ ↑ ↗
← S 79.205338°
E 45.181274°		 ← 57.20 m → S 79.205338°
E 45.184021°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
S 79.205853°
E 45.181274°		 ← 57.20 m →
3 273 m²		 S 79.205853°
E 45.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625507354736328 y=0.875507354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625507354736328 × 217)
    floor (0.625507354736328 × 131072)
    floor (81986.5)     		tx = 81986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875507354736328 × 217)
    floor (0.875507354736328 × 131072)
    floor (114754.5)     		ty = 114754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81986 / 114754 ti = "17/81986/114754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81986/114754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81986 ÷ 217
    81986 ÷ 131072     		x = 0.625503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114754 ÷ 217
    114754 ÷ 131072     		y = 0.875503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625503540039062 × 2 - 1) × π
    0.251007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78856200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875503540039062 × 2 - 1) × π
    -0.751007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35935832549992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78856200} λ = 0.78856200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35935832549992))-π/2
    2×atan(0.0944808296885597)-π/2
    2×0.0942011941746718-π/2
    0.188402388349344-1.57079632675     		φ = -1.38239394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78856200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38239394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.205338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81986 KachelY 114754 0.78856200 -1.38239394 45.181274 -79.205338
    Oben rechts KachelX + 1 81987 KachelY 114754 0.78860994 -1.38239394 45.184021 -79.205338
    Unten links KachelX 81986 KachelY + 1 114755 0.78856200 -1.38240292 45.181274 -79.205853
    Unten rechts KachelX + 1 81987 KachelY + 1 114755 0.78860994 -1.38240292 45.184021 -79.205853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38239394--1.38240292) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38239394--1.38240292) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(-1.38239394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187289791691751 × 6371000     		do = 57.2031232218615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(-1.38240292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187280970587947 × 6371000     		du = 57.2004290297044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38239394)-sin(-1.38240292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187289791691751-0.187280970587947)×R²
    abs(0.78860994-0.78856200)×8.82110380448498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82110380448498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82110380448498e-06×40589641000000     		ar = 3272.603990977m²