Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81986 / 16450
↖ ↑ ↗
← N 79.137225°
E 45.181274°		 ← 57.56 m → N 79.137225°
E 45.184021°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.136708°
E 45.181274°		 ← 57.56 m →
3 311 m²		 N 79.136708°
E 45.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625507354736328 y=0.125507354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625507354736328 × 217)
    floor (0.625507354736328 × 131072)
    floor (81986.5)     		tx = 81986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125507354736328 × 217)
    floor (0.125507354736328 × 131072)
    floor (16450.5)     		ty = 16450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81986 / 16450 ti = "17/81986/16450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81986/16450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81986 ÷ 217
    81986 ÷ 131072     		x = 0.625503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16450 ÷ 217
    16450 ÷ 131072     		y = 0.125503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625503540039062 × 2 - 1) × π
    0.251007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78856200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125503540039062 × 2 - 1) × π
    0.748992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35303065475008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78856200} λ = 0.78856200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35303065475008))-π/2
    2×atan(10.5173960693923)-π/2
    2×1.47600073329598-π/2
    2.95200146659196-1.57079632675     		φ = 1.38120514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78856200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38120514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.137225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81986 KachelY 16450 0.78856200 1.38120514 45.181274 79.137225
    Oben rechts KachelX + 1 81987 KachelY 16450 0.78860994 1.38120514 45.184021 79.137225
    Unten links KachelX 81986 KachelY + 1 16451 0.78856200 1.38119611 45.181274 79.136708
    Unten rechts KachelX + 1 81987 KachelY + 1 16451 0.78860994 1.38119611 45.184021 79.136708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38120514-1.38119611) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38120514-1.38119611) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(1.38120514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188457422907073 × 6371000     		do = 57.5597478498479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(1.38119611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18846629109408 × 6371000     		du = 57.5624564224269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38120514)-sin(1.38119611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188457422907073-0.18846629109408)×R²
    abs(0.78860994-0.78856200)×8.86818700676639e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86818700676639e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86818700676639e-06×40589641000000     		ar = 3311.497688783m²