Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81986 / 49218
↖ ↑ ↗
← N 40.842905°
E 45.181274°		 ← 231.06 m → N 40.842905°
E 45.184021°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
N 40.840827°
E 45.181274°		 ← 231.06 m →
53 392 m²		 N 40.840827°
E 45.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625507354736328 y=0.375507354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625507354736328 × 217)
    floor (0.625507354736328 × 131072)
    floor (81986.5)     		tx = 81986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375507354736328 × 217)
    floor (0.375507354736328 × 131072)
    floor (49218.5)     		ty = 49218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81986 / 49218 ti = "17/81986/49218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81986/49218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81986 ÷ 217
    81986 ÷ 131072     		x = 0.625503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49218 ÷ 217
    49218 ÷ 131072     		y = 0.375503540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625503540039062 × 2 - 1) × π
    0.251007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78856200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375503540039062 × 2 - 1) × π
    0.248992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.782234328000076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78856200} λ = 0.78856200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782234328000076))-π/2
    2×atan(2.18635183931661)-π/2
    2×1.14181974648283-π/2
    2.28363949296566-1.57079632675     		φ = 0.71284317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78856200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71284317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.842905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81986 KachelY 49218 0.78856200 0.71284317 45.181274 40.842905
    Oben rechts KachelX + 1 81987 KachelY 49218 0.78860994 0.71284317 45.184021 40.842905
    Unten links KachelX 81986 KachelY + 1 49219 0.78856200 0.71280690 45.181274 40.840827
    Unten rechts KachelX + 1 81987 KachelY + 1 49219 0.78860994 0.71280690 45.184021 40.840827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71284317-0.71280690) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dl = 231.076169999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71284317-0.71280690) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dr = 231.076169999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(0.71284317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756505539113712 × 6371000     		do = 231.056264097753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(0.71280690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756529258734947 × 6371000     		du = 231.063508680621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71284317)-sin(0.71280690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756505539113712-0.756529258734947)×R²
    abs(0.78860994-0.78856200)×2.371962123493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.371962123493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.371962123493e-05×40589641000000     		ar = 53392.4335934074m²