Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81988 / 114756
↖ ↑ ↗
← S 79.206367°
E 45.186767°		 ← 57.20 m → S 79.206367°
E 45.189514°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
S 79.206881°
E 45.186767°		 ← 57.20 m →
3 272 m²		 S 79.206881°
E 45.189514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625522613525391 y=0.875522613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625522613525391 × 217)
    floor (0.625522613525391 × 131072)
    floor (81988.5)     		tx = 81988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875522613525391 × 217)
    floor (0.875522613525391 × 131072)
    floor (114756.5)     		ty = 114756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81988 / 114756 ti = "17/81988/114756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81988/114756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81988 ÷ 217
    81988 ÷ 131072     		x = 0.625518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114756 ÷ 217
    114756 ÷ 131072     		y = 0.875518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625518798828125 × 2 - 1) × π
    0.25103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78865787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.75103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35945419929916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78865787} λ = 0.78865787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35945419929916))-π/2
    2×atan(0.094471771886672)-π/2
    2×0.0941922165054078-π/2
    0.188384433010816-1.57079632675     		φ = -1.38241189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78865787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.186767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38241189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.206367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81988 KachelY 114756 0.78865787 -1.38241189 45.186767 -79.206367
    Oben rechts KachelX + 1 81989 KachelY 114756 0.78870581 -1.38241189 45.189514 -79.206367
    Unten links KachelX 81988 KachelY + 1 114757 0.78865787 -1.38242087 45.186767 -79.206881
    Unten rechts KachelX + 1 81989 KachelY + 1 114757 0.78870581 -1.38242087 45.189514 -79.206881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38241189--1.38242087) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38241189--1.38242087) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78865787-0.78870581) × cos(-1.38241189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187272159292121 × 6371000     		do = 57.1977378331563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78865787-0.78870581) × cos(-1.38242087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187263338158129 × 6371000     		du = 57.1950436317792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38241189)-sin(-1.38242087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187272159292121-0.187263338158129)×R²
    abs(0.78870581-0.78865787)×8.82113399180984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82113399180984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82113399180984e-06×40589641000000     		ar = 3272.29588426373m²