Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81991 / 16457
↖ ↑ ↗
← N 79.133601°
E 45.195007°		 ← 57.58 m → N 79.133601°
E 45.197754°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.133083°
E 45.195007°		 ← 57.58 m →
3 316 m²		 N 79.133083°
E 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625545501708984 y=0.125560760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625545501708984 × 217)
    floor (0.625545501708984 × 131072)
    floor (81991.5)     		tx = 81991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125560760498047 × 217)
    floor (0.125560760498047 × 131072)
    floor (16457.5)     		ty = 16457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81991 / 16457 ti = "17/81991/16457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81991/16457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81991 ÷ 217
    81991 ÷ 131072     		x = 0.625541687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16457 ÷ 217
    16457 ÷ 131072     		y = 0.125556945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625541687011719 × 2 - 1) × π
    0.251083374023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.78880168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125556945800781 × 2 - 1) × π
    0.748886108398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.35269509645274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78880168} λ = 0.78880168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35269509645274))-π/2
    2×atan(10.5138674619347)-π/2
    2×1.47596910885943-π/2
    2.95193821771887-1.57079632675     		φ = 1.38114189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78880168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.195007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38114189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.133601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81991 KachelY 16457 0.78880168 1.38114189 45.195007 79.133601
    Oben rechts KachelX + 1 81992 KachelY 16457 0.78884962 1.38114189 45.197754 79.133601
    Unten links KachelX 81991 KachelY + 1 16458 0.78880168 1.38113285 45.195007 79.133083
    Unten rechts KachelX + 1 81992 KachelY + 1 16458 0.78884962 1.38113285 45.197754 79.133083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38114189-1.38113285) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dl = 57.5938400008074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38114189-1.38113285) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dr = 57.5938400008074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78880168-0.78884962) × cos(1.38114189) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188519539176151 × 6371000     		do = 57.5787197574304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78880168-0.78884962) × cos(1.38113285) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188528417076178 × 6371000     		du = 57.5814312966159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38114189)-sin(1.38113285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188519539176151-0.188528417076178)×R²
    abs(0.78884962-0.78880168)×8.87790002704336e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.87790002704336e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.87790002704336e-06×40589641000000     		ar = 3316.2576571085m²