Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8200 / 8200
↖ ↑ ↗
← S  0.175781°
E  0.175781°		 ← 2 443.27 m → S  0.175781°
E  0.197754°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
S  0.197754°
E  0.175781°		 ← 2 443.26 m →
5 969 422 m²		 S  0.197754°
E  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500518798828125 y=0.500518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500518798828125 × 214)
    floor (0.500518798828125 × 16384)
    floor (8200.5)     		tx = 8200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500518798828125 × 214)
    floor (0.500518798828125 × 16384)
    floor (8200.5)     		ty = 8200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8200 / 8200 ti = "14/8200/8200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8200/8200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8200 ÷ 214
    8200 ÷ 16384     		x = 0.50048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8200 ÷ 214
    8200 ÷ 16384     		y = 0.50048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50048828125 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00306796} λ = 0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00306796157568359))-π/2
    2×atan(0.996936739809313)-π/2
    2×0.783864185016005-π/2
    1.56772837003201-1.57079632675     		φ = -0.00306796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00306796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.175781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8200 KachelY 8200 0.00306796 -0.00306796 0.175781 -0.175781
    Oben rechts KachelX + 1 8201 KachelY 8200 0.00345146 -0.00306796 0.197754 -0.175781
    Unten links KachelX 8200 KachelY + 1 8201 0.00306796 -0.00345145 0.175781 -0.197754
    Unten rechts KachelX + 1 8201 KachelY + 1 8201 0.00345146 -0.00345145 0.197754 -0.197754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00306796--0.00345145) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00306796--0.00345145) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00306796-0.00345146) × cos(-0.00306796) × R
    0.0003835 × 0.999995293814411 × 6371000     		do = 2443.26700147793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00306796-0.00345146) × cos(-0.00345145) × R
    0.0003835 × 0.999994043752362 × 6371000     		du = 2443.26394722821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00306796)-sin(-0.00345145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999995293814411-0.999994043752362)×R²
    abs(0.00345146-0.00306796)×1.25006204898526e-06×R²
    0.0003835×1.25006204898526e-06×6371000²
    0.0003835×1.25006204898526e-06×40589641000000     		ar = 5969422.41599334m²