Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82000 / 82000
↖ ↑ ↗
← S 41.145569°
E 45.219727°		 ← 229.95 m → S 41.145569°
E 45.222473°		 →
↑
229.99 m
↓
↑
229.99 m
↓
S 41.147638°
E 45.219727°		 ← 229.94 m →
52 886 m²		 S 41.147638°
E 45.222473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625614166259766 y=0.625614166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625614166259766 × 217)
    floor (0.625614166259766 × 131072)
    floor (82000.5)     		tx = 82000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625614166259766 × 217)
    floor (0.625614166259766 × 131072)
    floor (82000.5)     		ty = 82000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82000 / 82000 ti = "17/82000/82000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82000/82000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82000 ÷ 217
    82000 ÷ 131072     		x = 0.6256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82000 ÷ 217
    82000 ÷ 131072     		y = 0.6256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    0.251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78923312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.789233115344604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78923312} λ = 0.78923312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789233115344604))-π/2
    2×atan(0.454192975381713)-π/2
    2×0.426335331198425-π/2
    0.85267066239685-1.57079632675     		φ = -0.71812566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78923312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.219727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71812566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.145569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82000 KachelY 82000 0.78923312 -0.71812566 45.219727 -41.145569
    Oben rechts KachelX + 1 82001 KachelY 82000 0.78928105 -0.71812566 45.222473 -41.145569
    Unten links KachelX 82000 KachelY + 1 82001 0.78923312 -0.71816176 45.219727 -41.147638
    Unten rechts KachelX + 1 82001 KachelY + 1 82001 0.78928105 -0.71816176 45.222473 -41.147638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71812566--0.71816176) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dl = 229.993099999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71812566--0.71816176) × R
    3.60999999999834e-05 × 6371000     		dr = 229.993099999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78923312-0.78928105) × cos(-0.71812566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753040318880375 × 6371000     		do = 229.9499204453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78923312-0.78928105) × cos(-0.71816176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.753016565514759 × 6371000     		du = 229.942667069355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71812566)-sin(-0.71816176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753040318880375-0.753016565514759)×R²
    abs(0.78928105-0.78923312)×2.37533656166633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37533656166633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37533656166633e-05×40589641000000     		ar = 52886.0609405208m²