Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82001 / 16463
↖ ↑ ↗
← N 79.130494°
E 45.222473°		 ← 57.59 m → N 79.130494°
E 45.225220°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.129976°
E 45.222473°		 ← 57.60 m →
3 317 m²		 N 79.129976°
E 45.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625621795654297 y=0.125606536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625621795654297 × 217)
    floor (0.625621795654297 × 131072)
    floor (82001.5)     		tx = 82001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125606536865234 × 217)
    floor (0.125606536865234 × 131072)
    floor (16463.5)     		ty = 16463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82001 / 16463 ti = "17/82001/16463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82001/16463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82001 ÷ 217
    82001 ÷ 131072     		x = 0.625617980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16463 ÷ 217
    16463 ÷ 131072     		y = 0.125602722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625617980957031 × 2 - 1) × π
    0.251235961914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78928105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125602722167969 × 2 - 1) × π
    0.748794555664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.35240747505502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78928105} λ = 0.78928105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35240747505502))-π/2
    2×atan(10.5108438835236)-π/2
    2×1.47594199390358-π/2
    2.95188398780716-1.57079632675     		φ = 1.38108766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78928105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.222473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38108766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.130494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82001 KachelY 16463 0.78928105 1.38108766 45.222473 79.130494
    Oben rechts KachelX + 1 82002 KachelY 16463 0.78932899 1.38108766 45.225220 79.130494
    Unten links KachelX 82001 KachelY + 1 16464 0.78928105 1.38107862 45.222473 79.129976
    Unten rechts KachelX + 1 82002 KachelY + 1 16464 0.78932899 1.38107862 45.225220 79.129976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38108766-1.38107862) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38108766-1.38107862) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78928105-0.78932899) × cos(1.38108766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188572796524603 × 6371000     		do = 57.5949859223586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78928105-0.78932899) × cos(1.38107862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188581674332195 × 6371000     		du = 57.5976974333119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38108766)-sin(1.38107862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188572796524603-0.188581674332195)×R²
    abs(0.78932899-0.78928105)×8.87780759192824e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87780759192824e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87780759192824e-06×40589641000000     		ar = 3317.19448716073m²