Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82008 / 16472
↖ ↑ ↗
← N 79.125832°
E 45.241699°		 ← 57.62 m → N 79.125832°
E 45.244446°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.125313°
E 45.241699°		 ← 57.62 m →
3 322 m²		 N 79.125313°
E 45.244446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625675201416016 y=0.125675201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625675201416016 × 217)
    floor (0.625675201416016 × 131072)
    floor (82008.5)     		tx = 82008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125675201416016 × 217)
    floor (0.125675201416016 × 131072)
    floor (16472.5)     		ty = 16472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82008 / 16472 ti = "17/82008/16472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82008/16472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82008 ÷ 217
    82008 ÷ 131072     		x = 0.62567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16472 ÷ 217
    16472 ÷ 131072     		y = 0.12567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62567138671875 × 2 - 1) × π
    0.2513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78961661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12567138671875 × 2 - 1) × π
    0.7486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35197604295844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78961661} λ = 0.78961661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35197604295844))-π/2
    2×atan(10.5063101461803)-π/2
    2×1.47590130710663-π/2
    2.95180261421327-1.57079632675     		φ = 1.38100629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78961661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38100629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.125832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82008 KachelY 16472 0.78961661 1.38100629 45.241699 79.125832
    Oben rechts KachelX + 1 82009 KachelY 16472 0.78966455 1.38100629 45.244446 79.125832
    Unten links KachelX 82008 KachelY + 1 16473 0.78961661 1.38099724 45.241699 79.125313
    Unten rechts KachelX + 1 82009 KachelY + 1 16473 0.78966455 1.38099724 45.244446 79.125313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38100629-1.38099724) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dl = 57.6575500004202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38100629-1.38099724) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dr = 57.6575500004202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78961661-0.78966455) × cos(1.38100629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188652706058506 × 6371000     		do = 57.6193923508838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78961661-0.78966455) × cos(1.38099724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188661593547776 × 6371000     		du = 57.6221068188708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38100629)-sin(1.38099724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188652706058506-0.188661593547776)×R²
    abs(0.78966455-0.78961661)×8.88748926974881e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.88748926974881e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.88748926974881e-06×40589641000000     		ar = 3322.27125024243m²