Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82016 / 16608
↖ ↑ ↗
← N 79.055138°
E 45.263672°		 ← 57.98 m → N 79.055138°
E 45.266418°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.054616°
E 45.263672°		 ← 57.98 m →
3 365 m²		 N 79.054616°
E 45.266418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625736236572266 y=0.126712799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625736236572266 × 217)
    floor (0.625736236572266 × 131072)
    floor (82016.5)     		tx = 82016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126712799072266 × 217)
    floor (0.126712799072266 × 131072)
    floor (16608.5)     		ty = 16608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82016 / 16608 ti = "17/82016/16608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82016/16608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82016 ÷ 217
    82016 ÷ 131072     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16608 ÷ 217
    16608 ÷ 131072     		y = 0.126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126708984375 × 2 - 1) × π
    0.74658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34545662461011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34545662461011))-π/2
    2×atan(10.438037904506)-π/2
    2×1.47528438151655-π/2
    2.95056876303309-1.57079632675     		φ = 1.37977244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37977244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.055138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82016 KachelY 16608 0.79000011 1.37977244 45.263672 79.055138
    Oben rechts KachelX + 1 82017 KachelY 16608 0.79004804 1.37977244 45.266418 79.055138
    Unten links KachelX 82016 KachelY + 1 16609 0.79000011 1.37976333 45.263672 79.054616
    Unten rechts KachelX + 1 82017 KachelY + 1 16609 0.79004804 1.37976333 45.266418 79.054616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37977244-1.37976333) × R
    9.10999999992335e-06 × 6371000     		dl = 58.0398099995116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37977244-1.37976333) × R
    9.10999999992335e-06 × 6371000     		dr = 58.0398099995116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79004804) × cos(1.37977244) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18986425697514 × 6371000     		do = 57.9773349342715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79004804) × cos(1.37976333) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189873201259552 × 6371000     		du = 57.9800661791165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37977244)-sin(1.37976333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18986425697514-0.189873201259552)×R²
    abs(0.79004804-0.79000011)×8.94428441228223e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.94428441228223e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.94428441228223e-06×40589641000000     		ar = 3365.0727643717m²