Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82018 / 16418
↖ ↑ ↗
← N 79.153776°
E 45.269165°		 ← 57.47 m → N 79.153776°
E 45.271912°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.153259°
E 45.269165°		 ← 57.48 m →
3 303 m²		 N 79.153259°
E 45.271912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625751495361328 y=0.125263214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625751495361328 × 217)
    floor (0.625751495361328 × 131072)
    floor (82018.5)     		tx = 82018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125263214111328 × 217)
    floor (0.125263214111328 × 131072)
    floor (16418.5)     		ty = 16418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82018 / 16418 ti = "17/82018/16418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82018/16418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82018 ÷ 217
    82018 ÷ 131072     		x = 0.625747680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16418 ÷ 217
    16418 ÷ 131072     		y = 0.125259399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625747680664062 × 2 - 1) × π
    0.251495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79009598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125259399414062 × 2 - 1) × π
    0.749481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35456463553792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79009598} λ = 0.79009598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35456463553792))-π/2
    2×atan(10.5335419334575)-π/2
    2×1.4761451695037-π/2
    2.95229033900741-1.57079632675     		φ = 1.38149401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79009598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.269165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38149401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.153776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82018 KachelY 16418 0.79009598 1.38149401 45.269165 79.153776
    Oben rechts KachelX + 1 82019 KachelY 16418 0.79014392 1.38149401 45.271912 79.153776
    Unten links KachelX 82018 KachelY + 1 16419 0.79009598 1.38148499 45.269165 79.153259
    Unten rechts KachelX + 1 82019 KachelY + 1 16419 0.79014392 1.38148499 45.271912 79.153259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38149401-1.38148499) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38149401-1.38148499) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79009598-0.79014392) × cos(1.38149401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18817372120525 × 6371000     		do = 57.4730980476295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79009598-0.79014392) × cos(1.38148499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188182580062148 × 6371000     		du = 57.4758037705532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38149401)-sin(1.38148499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18817372120525-0.188182580062148)×R²
    abs(0.79014392-0.79009598)×8.85885689821952e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.85885689821952e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.85885689821952e-06×40589641000000     		ar = 3302.85093515063m²