Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82044 / 16524
↖ ↑ ↗
← N 79.098855°
E 45.340576°		 ← 57.76 m → N 79.098855°
E 45.343323°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.098336°
E 45.340576°		 ← 57.76 m →
3 334 m²		 N 79.098336°
E 45.343323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625949859619141 y=0.126071929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625949859619141 × 217)
    floor (0.625949859619141 × 131072)
    floor (82044.5)     		tx = 82044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126071929931641 × 217)
    floor (0.126071929931641 × 131072)
    floor (16524.5)     		ty = 16524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82044 / 16524 ti = "17/82044/16524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82044/16524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82044 ÷ 217
    82044 ÷ 131072     		x = 0.625946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16524 ÷ 217
    16524 ÷ 131072     		y = 0.126068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625946044921875 × 2 - 1) × π
    0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126068115234375 × 2 - 1) × π
    0.74786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34948332417819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79134234} λ = 0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34948332417819))-π/2
    2×atan(10.4801534837138)-π/2
    2×1.47566589001233-π/2
    2.95133178002466-1.57079632675     		φ = 1.38053545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38053545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.098855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82044 KachelY 16524 0.79134234 1.38053545 45.340576 79.098855
    Oben rechts KachelX + 1 82045 KachelY 16524 0.79139028 1.38053545 45.343323 79.098855
    Unten links KachelX 82044 KachelY + 1 16525 0.79134234 1.38052639 45.340576 79.098336
    Unten rechts KachelX + 1 82045 KachelY + 1 16525 0.79139028 1.38052639 45.343323 79.098336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38053545-1.38052639) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38053545-1.38052639) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79134234-0.79139028) × cos(1.38053545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18911507066447 × 6371000     		do = 57.7606104028103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79134234-0.79139028) × cos(1.38052639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1891239671684 × 6371000     		du = 57.7633276241063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38053545)-sin(1.38052639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18911507066447-0.1891239671684)×R²
    abs(0.79139028-0.79134234)×8.8965039294342e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8965039294342e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8965039294342e-06×40589641000000     		ar = 3334.09363154635m²