Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82047 / 16510
↖ ↑ ↗
← N 79.106124°
E 45.348816°		 ← 57.72 m → N 79.106124°
E 45.351563°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.105605°
E 45.348816°		 ← 57.73 m →
3 332 m²		 N 79.105605°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625972747802734 y=0.125965118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625972747802734 × 217)
    floor (0.625972747802734 × 131072)
    floor (82047.5)     		tx = 82047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125965118408203 × 217)
    floor (0.125965118408203 × 131072)
    floor (16510.5)     		ty = 16510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82047 / 16510 ti = "17/82047/16510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82047/16510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82047 ÷ 217
    82047 ÷ 131072     		x = 0.625968933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16510 ÷ 217
    16510 ÷ 131072     		y = 0.125961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625968933105469 × 2 - 1) × π
    0.251937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.79148615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125961303710938 × 2 - 1) × π
    0.748077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35015444077287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79148615} λ = 0.79148615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35015444077287))-π/2
    2×atan(10.487189249277)-π/2
    2×1.47572932823682-π/2
    2.95145865647364-1.57079632675     		φ = 1.38066233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79148615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.348816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38066233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.106124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82047 KachelY 16510 0.79148615 1.38066233 45.348816 79.106124
    Oben rechts KachelX + 1 82048 KachelY 16510 0.79153409 1.38066233 45.351563 79.106124
    Unten links KachelX 82047 KachelY + 1 16511 0.79148615 1.38065327 45.348816 79.105605
    Unten rechts KachelX + 1 82048 KachelY + 1 16511 0.79153409 1.38065327 45.351563 79.105605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38066233-1.38065327) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38066233-1.38065327) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79148615-0.79153409) × cos(1.38066233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188990478700693 × 6371000     		do = 57.7225568100756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79148615-0.79153409) × cos(1.38065327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18899937542195 × 6371000     		du = 57.7252740977491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38066233)-sin(1.38065327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188990478700693-0.18899937542195)×R²
    abs(0.79153409-0.79148615)×8.89672125689578e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.89672125689578e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.89672125689578e-06×40589641000000     		ar = 3331.89713201238m²