Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82047 / 16767
↖ ↑ ↗
← N 78.971911°
E 45.348816°		 ← 58.42 m → N 78.971911°
E 45.351563°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.971386°
E 45.348816°		 ← 58.43 m →
3 413 m²		 N 78.971386°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625972747802734 y=0.127925872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625972747802734 × 217)
    floor (0.625972747802734 × 131072)
    floor (82047.5)     		tx = 82047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127925872802734 × 217)
    floor (0.127925872802734 × 131072)
    floor (16767.5)     		ty = 16767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82047 / 16767 ti = "17/82047/16767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82047/16767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82047 ÷ 217
    82047 ÷ 131072     		x = 0.625968933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16767 ÷ 217
    16767 ÷ 131072     		y = 0.127922058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625968933105469 × 2 - 1) × π
    0.251937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.79148615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127922058105469 × 2 - 1) × π
    0.744155883789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.33783465757052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79148615} λ = 0.79148615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33783465757052))-π/2
    2×atan(10.358781950468)-π/2
    2×1.47455809808355-π/2
    2.9491161961671-1.57079632675     		φ = 1.37831987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79148615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.348816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37831987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.971911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82047 KachelY 16767 0.79148615 1.37831987 45.348816 78.971911
    Oben rechts KachelX + 1 82048 KachelY 16767 0.79153409 1.37831987 45.351563 78.971911
    Unten links KachelX 82047 KachelY + 1 16768 0.79148615 1.37831070 45.348816 78.971386
    Unten rechts KachelX + 1 82048 KachelY + 1 16768 0.79153409 1.37831070 45.351563 78.971386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37831987-1.37831070) × R
    9.16999999978074e-06 × 6371000     		dl = 58.4220699986031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37831987-1.37831070) × R
    9.16999999978074e-06 × 6371000     		dr = 58.4220699986031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79148615-0.79153409) × cos(1.37831987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19129020443121 × 6371000     		do = 58.4249522431154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79148615-0.79153409) × cos(1.37831070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191299205085577 × 6371000     		du = 58.4277012746359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37831987)-sin(1.37831070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19129020443121-0.191299205085577)×R²
    abs(0.79153409-0.79148615)×9.0006543671528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.0006543671528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.0006543671528e-06×40589641000000     		ar = 3413.38695175328m²