Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82050 / 114818
↖ ↑ ↗
← S 79.238211°
E 45.357056°		 ← 57.03 m → S 79.238211°
E 45.359802°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
S 79.238723°
E 45.357056°		 ← 57.03 m →
3 252 m²		 S 79.238723°
E 45.359802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625995635986328 y=0.875995635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625995635986328 × 217)
    floor (0.625995635986328 × 131072)
    floor (82050.5)     		tx = 82050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875995635986328 × 217)
    floor (0.875995635986328 × 131072)
    floor (114818.5)     		ty = 114818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82050 / 114818 ti = "17/82050/114818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82050/114818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82050 ÷ 217
    82050 ÷ 131072     		x = 0.625991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114818 ÷ 217
    114818 ÷ 131072     		y = 0.875991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625991821289062 × 2 - 1) × π
    0.251983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79162996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.751983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36242628707561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79162996} λ = 0.79162996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36242628707561))-π/2
    2×atan(0.0941914103241916)-π/2
    2×0.0939143277238561-π/2
    0.187828655447712-1.57079632675     		φ = -1.38296767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79162996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38296767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.238211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82050 KachelY 114818 0.79162996 -1.38296767 45.357056 -79.238211
    Oben rechts KachelX + 1 82051 KachelY 114818 0.79167790 -1.38296767 45.359802 -79.238211
    Unten links KachelX 82050 KachelY + 1 114819 0.79162996 -1.38297662 45.357056 -79.238723
    Unten rechts KachelX + 1 82051 KachelY + 1 114819 0.79167790 -1.38297662 45.359802 -79.238723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38296767--1.38297662) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38296767--1.38297662) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79162996-0.79167790) × cos(-1.38296767) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186726183219409 × 6371000     		do = 57.0309826872584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79162996-0.79167790) × cos(-1.38297662) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186717390624555 × 6371000     		du = 57.0282972024684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38296767)-sin(-1.38297662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186726183219409-0.186717390624555)×R²
    abs(0.79167790-0.79162996)×8.79259485464523e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.79259485464523e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.79259485464523e-06×40589641000000     		ar = 3251.85573297942m²