Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82050 / 16514
↖ ↑ ↗
← N 79.104048°
E 45.357056°		 ← 57.73 m → N 79.104048°
E 45.359802°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.103529°
E 45.357056°		 ← 57.74 m →
3 333 m²		 N 79.103529°
E 45.359802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625995635986328 y=0.125995635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625995635986328 × 217)
    floor (0.625995635986328 × 131072)
    floor (82050.5)     		tx = 82050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125995635986328 × 217)
    floor (0.125995635986328 × 131072)
    floor (16514.5)     		ty = 16514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82050 / 16514 ti = "17/82050/16514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82050/16514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82050 ÷ 217
    82050 ÷ 131072     		x = 0.625991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16514 ÷ 217
    16514 ÷ 131072     		y = 0.125991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625991821289062 × 2 - 1) × π
    0.251983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79162996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125991821289062 × 2 - 1) × π
    0.748016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34996269317439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79162996} λ = 0.79162996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34996269317439))-π/2
    2×atan(10.4851785487033)-π/2
    2×1.47571120729562-π/2
    2.95142241459124-1.57079632675     		φ = 1.38062609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79162996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38062609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.104048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82050 KachelY 16514 0.79162996 1.38062609 45.357056 79.104048
    Oben rechts KachelX + 1 82051 KachelY 16514 0.79167790 1.38062609 45.359802 79.104048
    Unten links KachelX 82050 KachelY + 1 16515 0.79162996 1.38061703 45.357056 79.103529
    Unten rechts KachelX + 1 82051 KachelY + 1 16515 0.79167790 1.38061703 45.359802 79.103529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38062609-1.38061703) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38062609-1.38061703) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79162996-0.79167790) × cos(1.38062609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189026065492636 × 6371000     		do = 57.7334259324725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79162996-0.79167790) × cos(1.38061703) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189034962151833 × 6371000     		du = 57.7361432011914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38062609)-sin(1.38061703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189026065492636-0.189034962151833)×R²
    abs(0.79167790-0.79162996)×8.89665919751037e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.89665919751037e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.89665919751037e-06×40589641000000     		ar = 3332.52451098293m²