Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82050 / 49282
↖ ↑ ↗
← N 40.709792°
E 45.357056°		 ← 231.52 m → N 40.709792°
E 45.359802°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 40.707710°
E 45.357056°		 ← 231.53 m →
53 603 m²		 N 40.707710°
E 45.359802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625995635986328 y=0.375995635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625995635986328 × 217)
    floor (0.625995635986328 × 131072)
    floor (82050.5)     		tx = 82050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375995635986328 × 217)
    floor (0.375995635986328 × 131072)
    floor (49282.5)     		ty = 49282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82050 / 49282 ti = "17/82050/49282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82050/49282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82050 ÷ 217
    82050 ÷ 131072     		x = 0.625991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49282 ÷ 217
    49282 ÷ 131072     		y = 0.375991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625991821289062 × 2 - 1) × π
    0.251983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79162996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375991821289062 × 2 - 1) × π
    0.248016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779166366424393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79162996} λ = 0.79162996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779166366424393))-π/2
    2×atan(2.17965447476439)-π/2
    2×1.14065811759855-π/2
    2.28131623519709-1.57079632675     		φ = 0.71051991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79162996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71051991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.709792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82050 KachelY 49282 0.79162996 0.71051991 45.357056 40.709792
    Oben rechts KachelX + 1 82051 KachelY 49282 0.79167790 0.71051991 45.359802 40.709792
    Unten links KachelX 82050 KachelY + 1 49283 0.79162996 0.71048357 45.357056 40.707710
    Unten rechts KachelX + 1 82051 KachelY + 1 49283 0.79167790 0.71048357 45.359802 40.707710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71051991-0.71048357) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dl = 231.522140000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71051991-0.71048357) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dr = 231.522140000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79162996-0.79167790) × cos(0.71051991) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.758022878614849 × 6371000     		do = 231.519698638255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79162996-0.79167790) × cos(0.71048357) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.758046580078492 × 6371000     		du = 231.526937675327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71051991)-sin(0.71048357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758022878614849-0.758046580078492)×R²
    abs(0.79167790-0.79162996)×2.37014636431665e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37014636431665e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37014636431665e-05×40589641000000     		ar = 53602.7740855345m²