Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82051 / 16515
↖ ↑ ↗
← N 79.103529°
E 45.359802°		 ← 57.72 m → N 79.103529°
E 45.362549°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.103009°
E 45.359802°		 ← 57.73 m →
3 336 m²		 N 79.103009°
E 45.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626003265380859 y=0.126003265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626003265380859 × 217)
    floor (0.626003265380859 × 131072)
    floor (82051.5)     		tx = 82051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126003265380859 × 217)
    floor (0.126003265380859 × 131072)
    floor (16515.5)     		ty = 16515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82051 / 16515 ti = "17/82051/16515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82051/16515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82051 ÷ 217
    82051 ÷ 131072     		x = 0.625999450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16515 ÷ 217
    16515 ÷ 131072     		y = 0.125999450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625999450683594 × 2 - 1) × π
    0.251998901367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.79167790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125999450683594 × 2 - 1) × π
    0.748001098632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.34991475627477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79167790} λ = 0.79167790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34991475627477))-π/2
    2×atan(10.4846759337987)-π/2
    2×1.47570667652717-π/2
    2.95141335305433-1.57079632675     		φ = 1.38061703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79167790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.359802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38061703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.103529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82051 KachelY 16515 0.79167790 1.38061703 45.359802 79.103529
    Oben rechts KachelX + 1 82052 KachelY 16515 0.79172583 1.38061703 45.362549 79.103529
    Unten links KachelX 82051 KachelY + 1 16516 0.79167790 1.38060796 45.359802 79.103009
    Unten rechts KachelX + 1 82052 KachelY + 1 16516 0.79172583 1.38060796 45.362549 79.103009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38061703-1.38060796) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dl = 57.7849699996458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38061703-1.38060796) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dr = 57.7849699996458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79167790-0.79172583) × cos(1.38061703) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189034962151833 × 6371000     		do = 57.7240997835585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79167790-0.79172583) × cos(1.38060796) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.1890438686152 × 6371000     		du = 57.7268194792924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38061703)-sin(1.38060796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189034962151833-0.1890438686152)×R²
    abs(0.79172583-0.79167790)×8.90646336720868e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.90646336720868e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.90646336720868e-06×40589641000000     		ar = 3335.66395305392m²