Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82056 / 16520
↖ ↑ ↗
← N 79.100932°
E 45.373535°		 ← 57.75 m → N 79.100932°
E 45.376282°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.100413°
E 45.373535°		 ← 57.75 m →
3 333 m²		 N 79.100413°
E 45.376282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626041412353516 y=0.126041412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626041412353516 × 217)
    floor (0.626041412353516 × 131072)
    floor (82056.5)     		tx = 82056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126041412353516 × 217)
    floor (0.126041412353516 × 131072)
    floor (16520.5)     		ty = 16520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82056 / 16520 ti = "17/82056/16520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82056/16520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82056 ÷ 217
    82056 ÷ 131072     		x = 0.62603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16520 ÷ 217
    16520 ÷ 131072     		y = 0.12603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62603759765625 × 2 - 1) × π
    0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12603759765625 × 2 - 1) × π
    0.7479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34967507177667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79191758} λ = 0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34967507177667))-π/2
    2×atan(10.482163220651)-π/2
    2×1.47568401948551-π/2
    2.95136803897102-1.57079632675     		φ = 1.38057171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38057171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.100932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82056 KachelY 16520 0.79191758 1.38057171 45.373535 79.100932
    Oben rechts KachelX + 1 82057 KachelY 16520 0.79196552 1.38057171 45.376282 79.100932
    Unten links KachelX 82056 KachelY + 1 16521 0.79191758 1.38056265 45.373535 79.100413
    Unten rechts KachelX + 1 82057 KachelY + 1 16521 0.79196552 1.38056265 45.376282 79.100413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38057171-1.38056265) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38057171-1.38056265) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79191758-0.79196552) × cos(1.38057171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189079464854292 × 6371000     		do = 57.7497354718882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79191758-0.79196552) × cos(1.38056265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189088361420344 × 6371000     		du = 57.7524527121582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38057171)-sin(1.38056265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189079464854292-0.189088361420344)×R²
    abs(0.79196552-0.79191758)×8.89656605229661e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.89656605229661e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.89656605229661e-06×40589641000000     		ar = 3333.4659172977m²