Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82057 / 16519
↖ ↑ ↗
← N 79.101452°
E 45.376282°		 ← 57.75 m → N 79.101452°
E 45.379029°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.100932°
E 45.376282°		 ← 57.75 m →
3 337 m²		 N 79.100932°
E 45.379029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626049041748047 y=0.126033782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626049041748047 × 217)
    floor (0.626049041748047 × 131072)
    floor (82057.5)     		tx = 82057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126033782958984 × 217)
    floor (0.126033782958984 × 131072)
    floor (16519.5)     		ty = 16519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82057 / 16519 ti = "17/82057/16519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82057/16519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82057 ÷ 217
    82057 ÷ 131072     		x = 0.626045227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16519 ÷ 217
    16519 ÷ 131072     		y = 0.126029968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626045227050781 × 2 - 1) × π
    0.252090454101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.79196552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126029968261719 × 2 - 1) × π
    0.747940063476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.34972300867629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79196552} λ = 0.79196552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34972300867629))-π/2
    2×atan(10.482665715101)-π/2
    2×1.47568855132046-π/2
    2.95137710264092-1.57079632675     		φ = 1.38058078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79196552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.376282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38058078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.101452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82057 KachelY 16519 0.79196552 1.38058078 45.376282 79.101452
    Oben rechts KachelX + 1 82058 KachelY 16519 0.79201346 1.38058078 45.379029 79.101452
    Unten links KachelX 82057 KachelY + 1 16520 0.79196552 1.38057171 45.376282 79.100932
    Unten rechts KachelX + 1 82058 KachelY + 1 16520 0.79201346 1.38057171 45.379029 79.100932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38058078-1.38057171) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dl = 57.7849700010604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38058078-1.38057171) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dr = 57.7849700010604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79196552-0.79201346) × cos(1.38058078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189070558453084 × 6371000     		do = 57.7470152277086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79196552-0.79201346) × cos(1.38057171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189079464854292 × 6371000     		du = 57.7497354718882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38058078)-sin(1.38057171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189070558453084-0.189079464854292)×R²
    abs(0.79201346-0.79196552)×8.90640120779218e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.90640120779218e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.90640120779218e-06×40589641000000     		ar = 3336.98813718022m²