Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82064 / 16528
↖ ↑ ↗
← N 79.096777°
E 45.395508°		 ← 57.76 m → N 79.096777°
E 45.398254°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.096258°
E 45.395508°		 ← 57.76 m →
3 338 m²		 N 79.096258°
E 45.398254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626102447509766 y=0.126102447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626102447509766 × 217)
    floor (0.626102447509766 × 131072)
    floor (82064.5)     		tx = 82064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126102447509766 × 217)
    floor (0.126102447509766 × 131072)
    floor (16528.5)     		ty = 16528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82064 / 16528 ti = "17/82064/16528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82064/16528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82064 ÷ 217
    82064 ÷ 131072     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16528 ÷ 217
    16528 ÷ 131072     		y = 0.1260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1260986328125 × 2 - 1) × π
    0.747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34929157657971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34929157657971))-π/2
    2×atan(10.4781441321019)-π/2
    2×1.47564775712527-π/2
    2.95129551425055-1.57079632675     		φ = 1.38049919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38049919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.096777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82064 KachelY 16528 0.79230108 1.38049919 45.395508 79.096777
    Oben rechts KachelX + 1 82065 KachelY 16528 0.79234901 1.38049919 45.398254 79.096777
    Unten links KachelX 82064 KachelY + 1 16529 0.79230108 1.38049012 45.395508 79.096258
    Unten rechts KachelX + 1 82065 KachelY + 1 16529 0.79234901 1.38049012 45.398254 79.096258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38049919-1.38049012) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dl = 57.7849700010604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38049919-1.38049012) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dr = 57.7849700010604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79234901) × cos(1.38049919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189150676226003 × 6371000     		do = 57.7594344682803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79234901) × cos(1.38049012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189159582487261 × 6371000     		du = 57.7621541022979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38049919)-sin(1.38049012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189150676226003-0.189159582487261)×R²
    abs(0.79234901-0.79230108)×8.90626125860106e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.90626125860106e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.90626125860106e-06×40589641000000     		ar = 3337.70576509082m²