Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82064 / 49296
↖ ↑ ↗
← N 40.680638°
E 45.395508°		 ← 231.57 m → N 40.680638°
E 45.398254°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
N 40.678555°
E 45.395508°		 ← 231.58 m →
53 645 m²		 N 40.678555°
E 45.398254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626102447509766 y=0.376102447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626102447509766 × 217)
    floor (0.626102447509766 × 131072)
    floor (82064.5)     		tx = 82064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376102447509766 × 217)
    floor (0.376102447509766 × 131072)
    floor (49296.5)     		ty = 49296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82064 / 49296 ti = "17/82064/49296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82064/49296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82064 ÷ 217
    82064 ÷ 131072     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49296 ÷ 217
    49296 ÷ 131072     		y = 0.3760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.778495249829712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.778495249829712))-π/2
    2×atan(2.17819216322136)-π/2
    2×1.14040370106501-π/2
    2.28080740213002-1.57079632675     		φ = 0.71001108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71001108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.680638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82064 KachelY 49296 0.79230108 0.71001108 45.395508 40.680638
    Oben rechts KachelX + 1 82065 KachelY 49296 0.79234901 0.71001108 45.398254 40.680638
    Unten links KachelX 82064 KachelY + 1 49297 0.79230108 0.70997472 45.395508 40.678555
    Unten rechts KachelX + 1 82065 KachelY + 1 49297 0.79234901 0.70997472 45.398254 40.678555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71001108-0.70997472) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dl = 231.649560000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71001108-0.70997472) × R
    3.63600000000686e-05 × 6371000     		dr = 231.649560000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79234901) × cos(0.71001108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.758354653625775 × 6371000     		do = 231.572716491255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79234901) × cos(0.70997472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.758378354105911 × 6371000     		du = 231.579953717982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71001108)-sin(0.70997472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758354653625775-0.758378354105911)×R²
    abs(0.79234901-0.79230108)×2.37004801367791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37004801367791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37004801367791e-05×40589641000000     		ar = 53644.5561394639m²