Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82065 / 16527
↖ ↑ ↗
← N 79.097296°
E 45.398254°		 ← 57.77 m → N 79.097296°
E 45.401001°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.096777°
E 45.398254°		 ← 57.77 m →
3 335 m²		 N 79.096777°
E 45.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626110076904297 y=0.126094818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626110076904297 × 217)
    floor (0.626110076904297 × 131072)
    floor (82065.5)     		tx = 82065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126094818115234 × 217)
    floor (0.126094818115234 × 131072)
    floor (16527.5)     		ty = 16527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82065 / 16527 ti = "17/82065/16527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82065/16527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82065 ÷ 217
    82065 ÷ 131072     		x = 0.626106262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16527 ÷ 217
    16527 ÷ 131072     		y = 0.126091003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626106262207031 × 2 - 1) × π
    0.252212524414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.79234901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126091003417969 × 2 - 1) × π
    0.747817993164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.34933951347933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79234901} λ = 0.79234901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34933951347933))-π/2
    2×atan(10.4786464338847)-π/2
    2×1.47565229066712-π/2
    2.95130458133425-1.57079632675     		φ = 1.38050825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79234901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.398254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38050825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.097296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82065 KachelY 16527 0.79234901 1.38050825 45.398254 79.097296
    Oben rechts KachelX + 1 82066 KachelY 16527 0.79239695 1.38050825 45.401001 79.097296
    Unten links KachelX 82065 KachelY + 1 16528 0.79234901 1.38049919 45.398254 79.096777
    Unten rechts KachelX + 1 82066 KachelY + 1 16528 0.79239695 1.38049919 45.401001 79.096777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38050825-1.38049919) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38050825-1.38049919) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79234901-0.79239695) × cos(1.38050825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189141779768682 × 6371000     		do = 57.7687680507287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79234901-0.79239695) × cos(1.38049919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189150676226003 × 6371000     		du = 57.7714852577894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38050825)-sin(1.38049919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189141779768682-0.189150676226003)×R²
    abs(0.79239695-0.79234901)×8.89645732102262e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.89645732102262e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.89645732102262e-06×40589641000000     		ar = 3334.56450073025m²