Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82080 / 16800
↖ ↑ ↗
← N 78.954560°
E 45.439453°		 ← 58.50 m → N 78.954560°
E 45.442199°		 →
↑
58.55 m
↓
↑
58.55 m
↓
N 78.954033°
E 45.439453°		 ← 58.51 m →
3 425 m²		 N 78.954033°
E 45.442199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626224517822266 y=0.128177642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626224517822266 × 217)
    floor (0.626224517822266 × 131072)
    floor (82080.5)     		tx = 82080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128177642822266 × 217)
    floor (0.128177642822266 × 131072)
    floor (16800.5)     		ty = 16800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82080 / 16800 ti = "17/82080/16800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82080/16800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82080 ÷ 217
    82080 ÷ 131072     		x = 0.626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16800 ÷ 217
    16800 ÷ 131072     		y = 0.128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33625273988306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79306807} λ = 0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33625273988306))-π/2
    2×atan(10.3424081644854)-π/2
    2×1.47440667788141-π/2
    2.94881335576282-1.57079632675     		φ = 1.37801703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37801703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.954560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82080 KachelY 16800 0.79306807 1.37801703 45.439453 78.954560
    Oben rechts KachelX + 1 82081 KachelY 16800 0.79311600 1.37801703 45.442199 78.954560
    Unten links KachelX 82080 KachelY + 1 16801 0.79306807 1.37800784 45.439453 78.954033
    Unten rechts KachelX + 1 82081 KachelY + 1 16801 0.79311600 1.37800784 45.442199 78.954033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37801703-1.37800784) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dl = 58.549490000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37801703-1.37800784) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dr = 58.549490000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79306807-0.79311600) × cos(1.37801703) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191587443267103 × 6371000     		do = 58.5035305985883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79306807-0.79311600) × cos(1.37800784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1915964630193 × 6371000     		du = 58.5062848884293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37801703)-sin(1.37800784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191587443267103-0.1915964630193)×R²
    abs(0.79311600-0.79306807)×9.01975219694262e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.01975219694262e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.01975219694262e-06×40589641000000     		ar = 3425.43251095943m²