Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82081 / 16543
↖ ↑ ↗
← N 79.088982°
E 45.442199°		 ← 57.81 m → N 79.088982°
E 45.444946°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.088462°
E 45.442199°		 ← 57.82 m →
3 341 m²		 N 79.088462°
E 45.444946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626232147216797 y=0.126216888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626232147216797 × 217)
    floor (0.626232147216797 × 131072)
    floor (82081.5)     		tx = 82081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126216888427734 × 217)
    floor (0.126216888427734 × 131072)
    floor (16543.5)     		ty = 16543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82081 / 16543 ti = "17/82081/16543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82081/16543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82081 ÷ 217
    82081 ÷ 131072     		x = 0.626228332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16543 ÷ 217
    16543 ÷ 131072     		y = 0.126213073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626228332519531 × 2 - 1) × π
    0.252456665039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.79311600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126213073730469 × 2 - 1) × π
    0.747573852539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.34857252308541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79311600} λ = 0.79311600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34857252308541))-π/2
    2×atan(10.4706124940998)-π/2
    2×1.47557972838343-π/2
    2.95115945676686-1.57079632675     		φ = 1.38036313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79311600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.442199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38036313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.088982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82081 KachelY 16543 0.79311600 1.38036313 45.442199 79.088982
    Oben rechts KachelX + 1 82082 KachelY 16543 0.79316394 1.38036313 45.444946 79.088982
    Unten links KachelX 82081 KachelY + 1 16544 0.79311600 1.38035406 45.442199 79.088462
    Unten rechts KachelX + 1 82082 KachelY + 1 16544 0.79316394 1.38035406 45.444946 79.088462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38036313-1.38035406) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dl = 57.7849700010604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38036313-1.38035406) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dr = 57.7849700010604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79311600-0.79316394) × cos(1.38036313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189284278329844 × 6371000     		do = 57.8122907792206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79311600-0.79316394) × cos(1.38035406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189293184357591 × 6371000     		du = 57.8150109093356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38036313)-sin(1.38035406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189284278329844-0.189293184357591)×R²
    abs(0.79316394-0.79311600)×8.90602774658578e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.90602774658578e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.90602774658578e-06×40589641000000     		ar = 3340.76007975621m²