Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82084 / 16548
↖ ↑ ↗
← N 79.086382°
E 45.450439°		 ← 57.83 m → N 79.086382°
E 45.453186°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.085862°
E 45.450439°		 ← 57.83 m →
3 345 m²		 N 79.085862°
E 45.453186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626255035400391 y=0.126255035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626255035400391 × 217)
    floor (0.626255035400391 × 131072)
    floor (82084.5)     		tx = 82084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126255035400391 × 217)
    floor (0.126255035400391 × 131072)
    floor (16548.5)     		ty = 16548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82084 / 16548 ti = "17/82084/16548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82084/16548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82084 ÷ 217
    82084 ÷ 131072     		x = 0.626251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16548 ÷ 217
    16548 ÷ 131072     		y = 0.126251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626251220703125 × 2 - 1) × π
    0.25250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79325981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126251220703125 × 2 - 1) × π
    0.74749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34833283858731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79325981} λ = 0.79325981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34833283858731))-π/2
    2×atan(10.4681031513366)-π/2
    2×1.47555704146021-π/2
    2.95111408292043-1.57079632675     		φ = 1.38031776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79325981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.450439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38031776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.086382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82084 KachelY 16548 0.79325981 1.38031776 45.450439 79.086382
    Oben rechts KachelX + 1 82085 KachelY 16548 0.79330775 1.38031776 45.453186 79.086382
    Unten links KachelX 82084 KachelY + 1 16549 0.79325981 1.38030868 45.450439 79.085862
    Unten rechts KachelX + 1 82085 KachelY + 1 16549 0.79330775 1.38030868 45.453186 79.085862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38031776-1.38030868) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38031776-1.38030868) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79325981-0.79330775) × cos(1.38031776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189328827951122 × 6371000     		do = 57.8258973802662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79325981-0.79330775) × cos(1.38030868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189337743720086 × 6371000     		du = 57.8286204855997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38031776)-sin(1.38030868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189328827951122-0.189337743720086)×R²
    abs(0.79330775-0.79325981)×8.9157689641961e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.9157689641961e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.9157689641961e-06×40589641000000     		ar = 3345.23059746744m²