Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82088 / 16552
↖ ↑ ↗
← N 79.084302°
E 45.461426°		 ← 57.84 m → N 79.084302°
E 45.464172°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.083781°
E 45.461426°		 ← 57.84 m →
3 346 m²		 N 79.083781°
E 45.464172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626285552978516 y=0.126285552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626285552978516 × 217)
    floor (0.626285552978516 × 131072)
    floor (82088.5)     		tx = 82088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126285552978516 × 217)
    floor (0.126285552978516 × 131072)
    floor (16552.5)     		ty = 16552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82088 / 16552 ti = "17/82088/16552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82088/16552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82088 ÷ 217
    82088 ÷ 131072     		x = 0.62628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16552 ÷ 217
    16552 ÷ 131072     		y = 0.12628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    0.2525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79345156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12628173828125 × 2 - 1) × π
    0.7474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34814109098883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79345156} λ = 0.79345156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34814109098883))-π/2
    2×atan(10.4660961101255)-π/2
    2×1.47553888807691-π/2
    2.95107777615382-1.57079632675     		φ = 1.38028145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79345156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38028145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.084302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82088 KachelY 16552 0.79345156 1.38028145 45.461426 79.084302
    Oben rechts KachelX + 1 82089 KachelY 16552 0.79349950 1.38028145 45.464172 79.084302
    Unten links KachelX 82088 KachelY + 1 16553 0.79345156 1.38027237 45.461426 79.083781
    Unten rechts KachelX + 1 82089 KachelY + 1 16553 0.79349950 1.38027237 45.464172 79.083781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38028145-1.38027237) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38028145-1.38027237) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79345156-0.79349950) × cos(1.38028145) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189364481114245 × 6371000     		do = 57.8367867741304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79345156-0.79349950) × cos(1.38027237) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189373396820781 × 6371000     		du = 57.8395098603968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38028145)-sin(1.38027237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189364481114245-0.189373396820781)×R²
    abs(0.79349950-0.79345156)×8.91570653610563e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.91570653610563e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.91570653610563e-06×40589641000000     		ar = 3345.86053385654m²