Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82111 / 16575
↖ ↑ ↗
← N 79.072333°
E 45.524597°		 ← 57.90 m → N 79.072333°
E 45.527344°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.071812°
E 45.524597°		 ← 57.90 m →
3 349 m²		 N 79.071812°
E 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626461029052734 y=0.126461029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626461029052734 × 217)
    floor (0.626461029052734 × 131072)
    floor (82111.5)     		tx = 82111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126461029052734 × 217)
    floor (0.126461029052734 × 131072)
    floor (16575.5)     		ty = 16575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82111 / 16575 ti = "17/82111/16575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82111/16575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82111 ÷ 217
    82111 ÷ 131072     		x = 0.626457214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16575 ÷ 217
    16575 ÷ 131072     		y = 0.126457214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626457214355469 × 2 - 1) × π
    0.252914428710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.79455411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126457214355469 × 2 - 1) × π
    0.747085571289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.34703854229757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79455411} λ = 0.79455411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34703854229757))-π/2
    2×atan(10.4545630885839)-π/2
    2×1.47543443976924-π/2
    2.95086887953847-1.57079632675     		φ = 1.38007255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79455411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.524597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38007255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.072333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82111 KachelY 16575 0.79455411 1.38007255 45.524597 79.072333
    Oben rechts KachelX + 1 82112 KachelY 16575 0.79460205 1.38007255 45.527344 79.072333
    Unten links KachelX 82111 KachelY + 1 16576 0.79455411 1.38006347 45.524597 79.071812
    Unten rechts KachelX + 1 82112 KachelY + 1 16576 0.79460205 1.38006347 45.527344 79.071812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38007255-1.38006347) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38007255-1.38006347) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79455411-0.79460205) × cos(1.38007255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189569597325181 × 6371000     		do = 57.8994345445074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79455411-0.79460205) × cos(1.38006347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189578512672325 × 6371000     		du = 57.9021575210063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38007255)-sin(1.38006347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189569597325181-0.189578512672325)×R²
    abs(0.79460205-0.79455411)×8.91534714406172e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91534714406172e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91534714406172e-06×40589641000000     		ar = 3349.48462142711m²