Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82113 / 16319
↖ ↑ ↗
← N 79.204824°
E 45.530091°		 ← 57.19 m → N 79.204824°
E 45.532837°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.204309°
E 45.530091°		 ← 57.20 m →
3 272 m²		 N 79.204309°
E 45.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626476287841797 y=0.124507904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626476287841797 × 217)
    floor (0.626476287841797 × 131072)
    floor (82113.5)     		tx = 82113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124507904052734 × 217)
    floor (0.124507904052734 × 131072)
    floor (16319.5)     		ty = 16319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82113 / 16319 ti = "17/82113/16319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82113/16319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82113 ÷ 217
    82113 ÷ 131072     		x = 0.626472473144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16319 ÷ 217
    16319 ÷ 131072     		y = 0.124504089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626472473144531 × 2 - 1) × π
    0.252944946289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.79464999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124504089355469 × 2 - 1) × π
    0.750991821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.3593103886003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79464999} λ = 0.79464999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3593103886003))-π/2
    2×atan(10.5836503293368)-π/2
    2×1.47659064346852-π/2
    2.95318128693705-1.57079632675     		φ = 1.38238496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79464999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.530091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38238496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.204824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82113 KachelY 16319 0.79464999 1.38238496 45.530091 79.204824
    Oben rechts KachelX + 1 82114 KachelY 16319 0.79469792 1.38238496 45.532837 79.204824
    Unten links KachelX 82113 KachelY + 1 16320 0.79464999 1.38237598 45.530091 79.204309
    Unten rechts KachelX + 1 82114 KachelY + 1 16320 0.79469792 1.38237598 45.532837 79.204309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38238496-1.38237598) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38238496-1.38237598) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79464999-0.79469792) × cos(1.38238496) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187298612780453 × 6371000     		do = 57.1938846147255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79464999-0.79469792) × cos(1.38237598) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18730743385405 × 6371000     		du = 57.196578235666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38238496)-sin(1.38237598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187298612780453-0.18730743385405)×R²
    abs(0.79469792-0.79464999)×8.82107359753692e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.82107359753692e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.82107359753692e-06×40589641000000     		ar = 3272.22955824402m²