Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82114 / 16322
↖ ↑ ↗
← N 79.203280°
E 45.532837°		 ← 57.21 m → N 79.203280°
E 45.535584°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.202766°
E 45.532837°		 ← 57.22 m →
3 273 m²		 N 79.202766°
E 45.535584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626483917236328 y=0.124530792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626483917236328 × 217)
    floor (0.626483917236328 × 131072)
    floor (82114.5)     		tx = 82114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124530792236328 × 217)
    floor (0.124530792236328 × 131072)
    floor (16322.5)     		ty = 16322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82114 / 16322 ti = "17/82114/16322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82114/16322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82114 ÷ 217
    82114 ÷ 131072     		x = 0.626480102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16322 ÷ 217
    16322 ÷ 131072     		y = 0.124526977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626480102539062 × 2 - 1) × π
    0.252960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79469792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124526977539062 × 2 - 1) × π
    0.750946044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35916657790144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79469792} λ = 0.79469792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35916657790144))-π/2
    2×atan(10.5821283966241)-π/2
    2×1.47657717474502-π/2
    2.95315434949005-1.57079632675     		φ = 1.38235802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79469792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.532837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38235802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.203280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82114 KachelY 16322 0.79469792 1.38235802 45.532837 79.203280
    Oben rechts KachelX + 1 82115 KachelY 16322 0.79474586 1.38235802 45.535584 79.203280
    Unten links KachelX 82114 KachelY + 1 16323 0.79469792 1.38234904 45.532837 79.202766
    Unten rechts KachelX + 1 82115 KachelY + 1 16323 0.79474586 1.38234904 45.535584 79.202766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38235802-1.38234904) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38235802-1.38234904) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79469792-0.79474586) × cos(1.38235802) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187325075955931 × 6371000     		do = 57.2138999444913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79469792-0.79474586) × cos(1.38234904) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187333896984212 × 6371000     		du = 57.2165941135818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38235802)-sin(1.38234904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187325075955931-0.187333896984212)×R²
    abs(0.79474586-0.79469792)×8.82102828178577e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.82102828178577e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.82102828178577e-06×40589641000000     		ar = 3273.37468259995m²