Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8217 / 8217
↖ ↑ ↗
← S  0.549308°
E  0.549316°		 ← 2 443.17 m → S  0.549308°
E  0.571289°		 →
↑
2 443.15 m
↓
↑
2 443.15 m
↓
S  0.571280°
E  0.549316°		 ← 2 443.16 m →
5 969 013 m²		 S  0.571280°
E  0.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501556396484375 y=0.501556396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501556396484375 × 214)
    floor (0.501556396484375 × 16384)
    floor (8217.5)     		tx = 8217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501556396484375 × 214)
    floor (0.501556396484375 × 16384)
    floor (8217.5)     		ty = 8217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8217 / 8217 ti = "14/8217/8217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8217/8217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8217 ÷ 214
    8217 ÷ 16384     		x = 0.50152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8217 ÷ 214
    8217 ÷ 16384     		y = 0.50152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50152587890625 × 2 - 1) × π
    0.0030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00958738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00958738} λ = 0.00958738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00958737992401123))-π/2
    2×atan(0.990458432479025)-π/2
    2×0.780604546871371-π/2
    1.56120909374274-1.57079632675     		φ = -0.00958723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00958738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.549316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00958723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.549308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8217 KachelY 8217 0.00958738 -0.00958723 0.549316 -0.549308
    Oben rechts KachelX + 1 8218 KachelY 8217 0.00997088 -0.00958723 0.571289 -0.549308
    Unten links KachelX 8217 KachelY + 1 8218 0.00958738 -0.00997071 0.549316 -0.571280
    Unten rechts KachelX + 1 8218 KachelY + 1 8218 0.00997088 -0.00997071 0.571289 -0.571280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00958723--0.00997071) × R
    0.00038348 × 6371000     		dl = 2443.15108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00958723--0.00997071) × R
    0.00038348 × 6371000     		dr = 2443.15108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00958738-0.00997088) × cos(-0.00958723) × R
    0.0003835 × 0.999954042862478 × 6371000     		do = 2443.16621391397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00958738-0.00997088) × cos(-0.00997071) × R
    0.0003835 × 0.999950292882853 × 6371000     		du = 2443.15705166938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00958723)-sin(-0.00997071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999954042862478-0.999950292882853)×R²
    abs(0.00997088-0.00958738)×3.749979624601e-06×R²
    0.0003835×3.749979624601e-06×6371000²
    0.0003835×3.749979624601e-06×40589641000000     		ar = 5969013.05491827m²