Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82176 / 114945
↖ ↑ ↗
← S 79.303149°
E 45.703125°		 ← 56.69 m → S 79.303149°
E 45.705872°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.303659°
E 45.703125°		 ← 56.69 m →
3 214 m²		 S 79.303659°
E 45.705872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626956939697266 y=0.876964569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626956939697266 × 217)
    floor (0.626956939697266 × 131072)
    floor (82176.5)     		tx = 82176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876964569091797 × 217)
    floor (0.876964569091797 × 131072)
    floor (114945.5)     		ty = 114945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82176 / 114945 ti = "17/82176/114945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82176/114945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82176 ÷ 217
    82176 ÷ 131072     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114945 ÷ 217
    114945 ÷ 131072     		y = 0.876960754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876960754394531 × 2 - 1) × π
    -0.753921508789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36851427332735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36851427332735))-π/2
    2×atan(0.093619716311501)-π/2
    2×0.0933476310021592-π/2
    0.186695262004318-1.57079632675     		φ = -1.38410106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38410106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.303149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82176 KachelY 114945 0.79767001 -1.38410106 45.703125 -79.303149
    Oben rechts KachelX + 1 82177 KachelY 114945 0.79771795 -1.38410106 45.705872 -79.303149
    Unten links KachelX 82176 KachelY + 1 114946 0.79767001 -1.38410996 45.703125 -79.303659
    Unten rechts KachelX + 1 82177 KachelY + 1 114946 0.79771795 -1.38410996 45.705872 -79.303659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38410106--1.38410996) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38410106--1.38410996) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79771795) × cos(-1.38410106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185612607592456 × 6371000     		do = 56.6908680272184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79771795) × cos(-1.38410996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		du = 56.688196971597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38410106)-sin(-1.38410996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185612607592456-0.185603862240406)×R²
    abs(0.79771795-0.79767001)×8.74535204989368e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74535204989368e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74535204989368e-06×40589641000000     		ar = 3214.40420295858m²