Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82176 / 16639
↖ ↑ ↗
← N 79.038959°
E 45.703125°		 ← 58.07 m → N 79.038959°
E 45.705872°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.038438°
E 45.703125°		 ← 58.08 m →
3 371 m²		 N 79.038438°
E 45.705872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626956939697266 y=0.126949310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626956939697266 × 217)
    floor (0.626956939697266 × 131072)
    floor (82176.5)     		tx = 82176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126949310302734 × 217)
    floor (0.126949310302734 × 131072)
    floor (16639.5)     		ty = 16639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82176 / 16639 ti = "17/82176/16639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82176/16639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82176 ÷ 217
    82176 ÷ 131072     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16639 ÷ 217
    16639 ÷ 131072     		y = 0.126945495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126945495605469 × 2 - 1) × π
    0.746109008789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.34397058072189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34397058072189))-π/2
    2×atan(10.4225380416636)-π/2
    2×1.47514320524236-π/2
    2.95028641048471-1.57079632675     		φ = 1.37949008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37949008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.038959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82176 KachelY 16639 0.79767001 1.37949008 45.703125 79.038959
    Oben rechts KachelX + 1 82177 KachelY 16639 0.79771795 1.37949008 45.705872 79.038959
    Unten links KachelX 82176 KachelY + 1 16640 0.79767001 1.37948097 45.703125 79.038438
    Unten rechts KachelX + 1 82177 KachelY + 1 16640 0.79771795 1.37948097 45.705872 79.038438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37949008-1.37948097) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dl = 58.0398100009263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37949008-1.37948097) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dr = 58.0398100009263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79771795) × cos(1.37949008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190141473373292 × 6371000     		do = 58.0741002096899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79771795) × cos(1.37948097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190150417168949 × 6371000     		du = 58.0768318750967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37949008)-sin(1.37948097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190141473373292-0.190150417168949)×R²
    abs(0.79771795-0.79767001)×8.94379565669068e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.94379565669068e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.94379565669068e-06×40589641000000     		ar = 3370.68901483505m²