Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82176 / 82175
↖ ↑ ↗
← S 41.506520°
E 45.703125°		 ← 228.73 m → S 41.506520°
E 45.705872°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 41.508577°
E 45.703125°		 ← 228.72 m →
52 313 m²		 S 41.508577°
E 45.705872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626956939697266 y=0.626949310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626956939697266 × 217)
    floor (0.626956939697266 × 131072)
    floor (82176.5)     		tx = 82176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626949310302734 × 217)
    floor (0.626949310302734 × 131072)
    floor (82175.5)     		ty = 82175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82176 / 82175 ti = "17/82176/82175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82176/82175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82176 ÷ 217
    82176 ÷ 131072     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82175 ÷ 217
    82175 ÷ 131072     		y = 0.626945495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626945495605469 × 2 - 1) × π
    -0.253890991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.797622072778114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797622072778114))-π/2
    2×atan(0.450398707073951)-π/2
    2×0.423185441791492-π/2
    0.846370883582983-1.57079632675     		φ = -0.72442544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72442544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.506520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82176 KachelY 82175 0.79767001 -0.72442544 45.703125 -41.506520
    Oben rechts KachelX + 1 82177 KachelY 82175 0.79771795 -0.72442544 45.705872 -41.506520
    Unten links KachelX 82176 KachelY + 1 82176 0.79767001 -0.72446134 45.703125 -41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 82177 KachelY + 1 82176 0.79771795 -0.72446134 45.705872 -41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72442544--0.72446134) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72442544--0.72446134) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79771795) × cos(-0.72442544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748880309498129 × 6371000     		do = 228.727322699745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79771795) × cos(-0.72446134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 228.72005613211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72442544)-sin(-0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748880309498129-0.748856517896165)×R²
    abs(0.79771795-0.79767001)×2.37916019640849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37916019640849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37916019640849e-05×40589641000000     		ar = 52313.4306527052m²