Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82177 / 16641
↖ ↑ ↗
← N 79.037915°
E 45.705872°		 ← 58.07 m → N 79.037915°
E 45.708618°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.037393°
E 45.705872°		 ← 58.07 m →
3 370 m²		 N 79.037393°
E 45.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626964569091797 y=0.126964569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626964569091797 × 217)
    floor (0.626964569091797 × 131072)
    floor (82177.5)     		tx = 82177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126964569091797 × 217)
    floor (0.126964569091797 × 131072)
    floor (16641.5)     		ty = 16641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82177 / 16641 ti = "17/82177/16641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82177/16641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82177 ÷ 217
    82177 ÷ 131072     		x = 0.626960754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16641 ÷ 217
    16641 ÷ 131072     		y = 0.126960754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626960754394531 × 2 - 1) × π
    0.253921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.79771795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126960754394531 × 2 - 1) × π
    0.746078491210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.34387470692265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79771795} λ = 0.79771795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34387470692265))-π/2
    2×atan(10.4215388412432)-π/2
    2×1.47513409002083-π/2
    2.95026818004166-1.57079632675     		φ = 1.37947185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79771795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.705872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37947185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.037915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82177 KachelY 16641 0.79771795 1.37947185 45.705872 79.037915
    Oben rechts KachelX + 1 82178 KachelY 16641 0.79776588 1.37947185 45.708618 79.037915
    Unten links KachelX 82177 KachelY + 1 16642 0.79771795 1.37946274 45.705872 79.037393
    Unten rechts KachelX + 1 82178 KachelY + 1 16642 0.79776588 1.37946274 45.708618 79.037393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37947185-1.37946274) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dl = 58.0398100009263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37947185-1.37946274) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dr = 58.0398100009263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79771795-0.79776588) × cos(1.37947185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190159370766356 × 6371000     		do = 58.0674514807728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79771795-0.79776588) × cos(1.37946274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190168314530433 × 6371000     		du = 58.0701825667271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37947185)-sin(1.37946274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190159370766356-0.190168314530433)×R²
    abs(0.79776588-0.79771795)×8.94376407664654e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.94376407664654e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.94376407664654e-06×40589641000000     		ar = 3370.30310689084m²