Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82178 / 16130
↖ ↑ ↗
← N 79.301620°
E 45.708618°		 ← 56.70 m → N 79.301620°
E 45.711365°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.301110°
E 45.708618°		 ← 56.70 m →
3 215 m²		 N 79.301110°
E 45.711365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626972198486328 y=0.123065948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626972198486328 × 217)
    floor (0.626972198486328 × 131072)
    floor (82178.5)     		tx = 82178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123065948486328 × 217)
    floor (0.123065948486328 × 131072)
    floor (16130.5)     		ty = 16130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82178 / 16130 ti = "17/82178/16130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82178/16130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82178 ÷ 217
    82178 ÷ 131072     		x = 0.626968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16130 ÷ 217
    16130 ÷ 131072     		y = 0.123062133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626968383789062 × 2 - 1) × π
    0.253936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79776588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123062133789062 × 2 - 1) × π
    0.753875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36837046262849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79776588} λ = 0.79776588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36837046262849))-π/2
    2×atan(10.6799746787801)-π/2
    2×1.47743534831061-π/2
    2.95487069662123-1.57079632675     		φ = 1.38407437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79776588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.708618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38407437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.301620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82178 KachelY 16130 0.79776588 1.38407437 45.708618 79.301620
    Oben rechts KachelX + 1 82179 KachelY 16130 0.79781382 1.38407437 45.711365 79.301620
    Unten links KachelX 82178 KachelY + 1 16131 0.79776588 1.38406547 45.708618 79.301110
    Unten rechts KachelX + 1 82179 KachelY + 1 16131 0.79781382 1.38406547 45.711365 79.301110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38407437-1.38406547) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38407437-1.38406547) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79776588-0.79781382) × cos(1.38407437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185638833734209 × 6371000     		do = 56.6988781659705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79776588-0.79781382) × cos(1.38406547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185647579027462 × 6371000     		du = 56.7015492036339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38407437)-sin(1.38406547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185638833734209-0.185647579027462)×R²
    abs(0.79781382-0.79776588)×8.74529325300966e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74529325300966e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74529325300966e-06×40589641000000     		ar = 3215.00984645644m²