Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82180 / 16644
↖ ↑ ↗
← N 79.036348°
E 45.714111°		 ← 58.08 m → N 79.036348°
E 45.716858°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.035826°
E 45.714111°		 ← 58.08 m →
3 371 m²		 N 79.035826°
E 45.716858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626987457275391 y=0.126987457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626987457275391 × 217)
    floor (0.626987457275391 × 131072)
    floor (82180.5)     		tx = 82180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126987457275391 × 217)
    floor (0.126987457275391 × 131072)
    floor (16644.5)     		ty = 16644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82180 / 16644 ti = "17/82180/16644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82180/16644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82180 ÷ 217
    82180 ÷ 131072     		x = 0.626983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16644 ÷ 217
    16644 ÷ 131072     		y = 0.126983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626983642578125 × 2 - 1) × π
    0.25396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79786176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126983642578125 × 2 - 1) × π
    0.74603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34373089622379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79786176} λ = 0.79786176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34373089622379))-π/2
    2×atan(10.4200402202207)-π/2
    2×1.47512041557976-π/2
    2.95024083115951-1.57079632675     		φ = 1.37944450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79786176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37944450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.036348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82180 KachelY 16644 0.79786176 1.37944450 45.714111 79.036348
    Oben rechts KachelX + 1 82181 KachelY 16644 0.79790969 1.37944450 45.716858 79.036348
    Unten links KachelX 82180 KachelY + 1 16645 0.79786176 1.37943539 45.714111 79.035826
    Unten rechts KachelX + 1 82181 KachelY + 1 16645 0.79790969 1.37943539 45.716858 79.035826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37944450-1.37943539) × R
    9.10999999992335e-06 × 6371000     		dl = 58.0398099995116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37944450-1.37943539) × R
    9.10999999992335e-06 × 6371000     		dr = 58.0398099995116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79786176-0.79790969) × cos(1.37944450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190186221646198 × 6371000     		do = 58.0756507199487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79786176-0.79790969) × cos(1.37943539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190195165362891 × 6371000     		du = 58.0783817914335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37944450)-sin(1.37943539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190186221646198-0.190195165362891)×R²
    abs(0.79790969-0.79786176)×8.94371669216132e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.94371669216132e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.94371669216132e-06×40589641000000     		ar = 3370.77898881645m²