Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82181 / 16643
↖ ↑ ↗
← N 79.036870°
E 45.716858°		 ← 58.09 m → N 79.036870°
E 45.719604°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.036348°
E 45.716858°		 ← 58.09 m →
3 375 m²		 N 79.036348°
E 45.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626995086669922 y=0.126979827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626995086669922 × 217)
    floor (0.626995086669922 × 131072)
    floor (82181.5)     		tx = 82181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126979827880859 × 217)
    floor (0.126979827880859 × 131072)
    floor (16643.5)     		ty = 16643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82181 / 16643 ti = "17/82181/16643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82181/16643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82181 ÷ 217
    82181 ÷ 131072     		x = 0.626991271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16643 ÷ 217
    16643 ÷ 131072     		y = 0.126976013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626991271972656 × 2 - 1) × π
    0.253982543945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.79790969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126976013183594 × 2 - 1) × π
    0.746047973632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.34377883312341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79790969} λ = 0.79790969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34377883312341))-π/2
    2×atan(10.4205397366153)-π/2
    2×1.4751249739413-π/2
    2.9502499478826-1.57079632675     		φ = 1.37945362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79790969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.716858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37945362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.036870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82181 KachelY 16643 0.79790969 1.37945362 45.716858 79.036870
    Oben rechts KachelX + 1 82182 KachelY 16643 0.79795763 1.37945362 45.719604 79.036870
    Unten links KachelX 82181 KachelY + 1 16644 0.79790969 1.37944450 45.716858 79.036348
    Unten rechts KachelX + 1 82182 KachelY + 1 16644 0.79795763 1.37944450 45.719604 79.036348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37945362-1.37944450) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37945362-1.37944450) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79790969-0.79795763) × cos(1.37945362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190177268096225 × 6371000     		do = 58.0850328394297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79790969-0.79795763) × cos(1.37944450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190186221646198 × 6371000     		du = 58.0877674840561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37945362)-sin(1.37944450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190177268096225-0.190186221646198)×R²
    abs(0.79795763-0.79790969)×8.95354997393349e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.95354997393349e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.95354997393349e-06×40589641000000     		ar = 3375.02431363295m²