Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82184 / 114952
↖ ↑ ↗
← S 79.306718°
E 45.725097°		 ← 56.67 m → S 79.306718°
E 45.727844°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.307227°
E 45.725097°		 ← 56.67 m →
3 210 m²		 S 79.307227°
E 45.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627017974853516 y=0.877017974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627017974853516 × 217)
    floor (0.627017974853516 × 131072)
    floor (82184.5)     		tx = 82184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877017974853516 × 217)
    floor (0.877017974853516 × 131072)
    floor (114952.5)     		ty = 114952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82184 / 114952 ti = "17/82184/114952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82184/114952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82184 ÷ 217
    82184 ÷ 131072     		x = 0.62701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114952 ÷ 217
    114952 ÷ 131072     		y = 0.87701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62701416015625 × 2 - 1) × π
    0.2540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79805350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.7540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36884983162469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79805350} λ = 0.79805350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36884983162469))-π/2
    2×atan(0.0935883067090691)-π/2
    2×0.0933164942112919-π/2
    0.186632988422584-1.57079632675     		φ = -1.38416334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79805350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.725097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38416334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.306718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82184 KachelY 114952 0.79805350 -1.38416334 45.725097 -79.306718
    Oben rechts KachelX + 1 82185 KachelY 114952 0.79810144 -1.38416334 45.727844 -79.306718
    Unten links KachelX 82184 KachelY + 1 114953 0.79805350 -1.38417223 45.725097 -79.307227
    Unten rechts KachelX + 1 82185 KachelY + 1 114953 0.79810144 -1.38417223 45.727844 -79.307227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38416334--1.38417223) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38416334--1.38417223) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79805350-0.79810144) × cos(-1.38416334) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185551409472086 × 6371000     		do = 56.672176546149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79805350-0.79810144) × cos(-1.38417223) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185542673843534 × 6371000     		du = 56.6695084603341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38416334)-sin(-1.38417223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185551409472086-0.185542673843534)×R²
    abs(0.79810144-0.79805350)×8.73562855208121e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.73562855208121e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.73562855208121e-06×40589641000000     		ar = 3209.73394499249m²