Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82184 / 49416
↖ ↑ ↗
← N 40.430224°
E 45.725097°		 ← 232.49 m → N 40.430224°
E 45.727844°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
N 40.428133°
E 45.725097°		 ← 232.50 m →
54 049 m²		 N 40.428133°
E 45.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627017974853516 y=0.377017974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627017974853516 × 217)
    floor (0.627017974853516 × 131072)
    floor (82184.5)     		tx = 82184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377017974853516 × 217)
    floor (0.377017974853516 × 131072)
    floor (49416.5)     		ty = 49416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82184 / 49416 ti = "17/82184/49416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82184/49416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82184 ÷ 217
    82184 ÷ 131072     		x = 0.62701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49416 ÷ 217
    49416 ÷ 131072     		y = 0.37701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62701416015625 × 2 - 1) × π
    0.2540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79805350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37701416015625 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.772742821875305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79805350} λ = 0.79805350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772742821875305))-π/2
    2×atan(2.16569823938238)-π/2
    2×1.13821842325894-π/2
    2.27643684651789-1.57079632675     		φ = 0.70564052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79805350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.725097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70564052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.430224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82184 KachelY 49416 0.79805350 0.70564052 45.725097 40.430224
    Oben rechts KachelX + 1 82185 KachelY 49416 0.79810144 0.70564052 45.727844 40.430224
    Unten links KachelX 82184 KachelY + 1 49417 0.79805350 0.70560403 45.725097 40.428133
    Unten rechts KachelX + 1 82185 KachelY + 1 49417 0.79810144 0.70560403 45.727844 40.428133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70564052-0.70560403) × R
    3.64899999999446e-05 × 6371000     		dl = 232.477789999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70564052-0.70560403) × R
    3.64899999999446e-05 × 6371000     		dr = 232.477789999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79805350-0.79810144) × cos(0.70564052) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.761196316930342 × 6371000     		do = 232.48894838411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79805350-0.79810144) × cos(0.70560403) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.761219980973973 × 6371000     		du = 232.496175992148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70564052)-sin(0.70560403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761196316930342-0.761219980973973)×R²
    abs(0.79810144-0.79805350)×2.36640436312996e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36640436312996e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36640436312996e-05×40589641000000     		ar = 54049.3570547105m²