Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82192 / 16656
↖ ↑ ↗
← N 79.030078°
E 45.747070°		 ← 58.12 m → N 79.030078°
E 45.749817°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.029556°
E 45.747070°		 ← 58.12 m →
3 377 m²		 N 79.029556°
E 45.749817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627079010009766 y=0.127079010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627079010009766 × 217)
    floor (0.627079010009766 × 131072)
    floor (82192.5)     		tx = 82192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127079010009766 × 217)
    floor (0.127079010009766 × 131072)
    floor (16656.5)     		ty = 16656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82192 / 16656 ti = "17/82192/16656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82192/16656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82192 ÷ 217
    82192 ÷ 131072     		x = 0.6270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16656 ÷ 217
    16656 ÷ 131072     		y = 0.1270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    0.745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34315565342834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79843700} λ = 0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34315565342834))-π/2
    2×atan(10.4140478908432)-π/2
    2×1.4750656985051-π/2
    2.9501313970102-1.57079632675     		φ = 1.37933507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37933507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.030078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82192 KachelY 16656 0.79843700 1.37933507 45.747070 79.030078
    Oben rechts KachelX + 1 82193 KachelY 16656 0.79848494 1.37933507 45.749817 79.030078
    Unten links KachelX 82192 KachelY + 1 16657 0.79843700 1.37932595 45.747070 79.029556
    Unten rechts KachelX + 1 82193 KachelY + 1 16657 0.79848494 1.37932595 45.749817 79.029556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37933507-1.37932595) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37933507-1.37932595) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79843700-0.79848494) × cos(1.37933507) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190293653194547 × 6371000     		do = 58.1205798443443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79843700-0.79848494) × cos(1.37932595) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190302606538838 × 6371000     		du = 58.1233144261499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37933507)-sin(1.37932595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190293653194547-0.190302606538838)×R²
    abs(0.79848494-0.79843700)×8.95334429107386e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.95334429107386e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.95334429107386e-06×40589641000000     		ar = 3377.08971793134m²