Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82194 / 16658
↖ ↑ ↗
← N 79.029033°
E 45.752563°		 ← 58.13 m → N 79.029033°
E 45.755310°		 →
↑
58.17 m
↓
↑
58.17 m
↓
N 79.028510°
E 45.752563°		 ← 58.13 m →
3 381 m²		 N 79.028510°
E 45.755310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627094268798828 y=0.127094268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627094268798828 × 217)
    floor (0.627094268798828 × 131072)
    floor (82194.5)     		tx = 82194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127094268798828 × 217)
    floor (0.127094268798828 × 131072)
    floor (16658.5)     		ty = 16658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82194 / 16658 ti = "17/82194/16658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82194/16658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82194 ÷ 217
    82194 ÷ 131072     		x = 0.627090454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16658 ÷ 217
    16658 ÷ 131072     		y = 0.127090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627090454101562 × 2 - 1) × π
    0.254180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79853287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127090454101562 × 2 - 1) × π
    0.745819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3430597796291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79853287} λ = 0.79853287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3430597796291))-π/2
    2×atan(10.4130495043667)-π/2
    2×1.47505657598805-π/2
    2.9501131519761-1.57079632675     		φ = 1.37931683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79853287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37931683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.029033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82194 KachelY 16658 0.79853287 1.37931683 45.752563 79.029033
    Oben rechts KachelX + 1 82195 KachelY 16658 0.79858081 1.37931683 45.755310 79.029033
    Unten links KachelX 82194 KachelY + 1 16659 0.79853287 1.37930770 45.752563 79.028510
    Unten rechts KachelX + 1 82195 KachelY + 1 16659 0.79858081 1.37930770 45.755310 79.028510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37931683-1.37930770) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dl = 58.1672300001519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37931683-1.37930770) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dr = 58.1672300001519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79853287-0.79858081) × cos(1.37931683) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.1903115598673 × 6371000     		do = 58.126049003121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79853287-0.79858081) × cos(1.37930770) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190320522997154 × 6371000     		du = 58.1287865736893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37931683)-sin(1.37930770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1903115598673-0.190320522997154)×R²
    abs(0.79858081-0.79853287)×8.96312985373959e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.96312985373959e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.96312985373959e-06×40589641000000     		ar = 3381.11087984001m²