Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82200 / 16632
↖ ↑ ↗
← N 79.042615°
E 45.769043°		 ← 58.04 m → N 79.042615°
E 45.771789°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.042092°
E 45.769043°		 ← 58.05 m →
3 373 m²		 N 79.042092°
E 45.771789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627140045166016 y=0.126895904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627140045166016 × 217)
    floor (0.627140045166016 × 131072)
    floor (82200.5)     		tx = 82200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126895904541016 × 217)
    floor (0.126895904541016 × 131072)
    floor (16632.5)     		ty = 16632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82200 / 16632 ti = "17/82200/16632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82200/16632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82200 ÷ 217
    82200 ÷ 131072     		x = 0.62713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16632 ÷ 217
    16632 ÷ 131072     		y = 0.12689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62713623046875 × 2 - 1) × π
    0.2542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79882050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12689208984375 × 2 - 1) × π
    0.7462158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34430613901923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79882050} λ = 0.79882050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34430613901923))-π/2
    2×atan(10.4260359976341)-π/2
    2×1.47517510176203-π/2
    2.95035020352405-1.57079632675     		φ = 1.37955388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79882050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37955388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.042615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82200 KachelY 16632 0.79882050 1.37955388 45.769043 79.042615
    Oben rechts KachelX + 1 82201 KachelY 16632 0.79886843 1.37955388 45.771789 79.042615
    Unten links KachelX 82200 KachelY + 1 16633 0.79882050 1.37954476 45.769043 79.042092
    Unten rechts KachelX + 1 82201 KachelY + 1 16633 0.79886843 1.37954476 45.771789 79.042092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37955388-1.37954476) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37955388-1.37954476) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79882050-0.79886843) × cos(1.37955388) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.190078836908826 × 6371000     		do = 58.0428594984192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79882050-0.79886843) × cos(1.37954476) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.190087790632652 × 6371000     		du = 58.0455936257026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37955388)-sin(1.37954476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190078836908826-0.190087790632652)×R²
    abs(0.79886843-0.79882050)×8.9537238256443e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.9537238256443e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.9537238256443e-06×40589641000000     		ar = 3372.57387891885m²