Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82224 / 16624
↖ ↑ ↗
← N 79.046791°
E 45.834961°		 ← 58.03 m → N 79.046791°
E 45.837708°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.046269°
E 45.834961°		 ← 58.04 m →
3 368 m²		 N 79.046269°
E 45.837708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627323150634766 y=0.126834869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627323150634766 × 217)
    floor (0.627323150634766 × 131072)
    floor (82224.5)     		tx = 82224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126834869384766 × 217)
    floor (0.126834869384766 × 131072)
    floor (16624.5)     		ty = 16624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82224 / 16624 ti = "17/82224/16624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82224/16624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82224 ÷ 217
    82224 ÷ 131072     		x = 0.6273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16624 ÷ 217
    16624 ÷ 131072     		y = 0.1268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6273193359375 × 2 - 1) × π
    0.254638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79997098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1268310546875 × 2 - 1) × π
    0.746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34468963421619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79997098} λ = 0.79997098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34468963421619))-π/2
    2×atan(10.4300350991316)-π/2
    2×1.47521154206273-π/2
    2.95042308412545-1.57079632675     		φ = 1.37962676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79997098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37962676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.046791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82224 KachelY 16624 0.79997098 1.37962676 45.834961 79.046791
    Oben rechts KachelX + 1 82225 KachelY 16624 0.80001892 1.37962676 45.837708 79.046791
    Unten links KachelX 82224 KachelY + 1 16625 0.79997098 1.37961765 45.834961 79.046269
    Unten rechts KachelX + 1 82225 KachelY + 1 16625 0.80001892 1.37961765 45.837708 79.046269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37962676-1.37961765) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dl = 58.0398100009263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37962676-1.37961765) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dr = 58.0398100009263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79997098-0.80001892) × cos(1.37962676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19000728509175 × 6371000     		do = 58.0331156545007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79997098-0.80001892) × cos(1.37961765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190016229124085 × 6371000     		du = 58.035847392195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37962676)-sin(1.37961765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19000728509175-0.190016229124085)×R²
    abs(0.80001892-0.79997098)×8.94403233428487e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.94403233428487e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.94403233428487e-06×40589641000000     		ar = 3368.31028097683m²