Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82239 / 16705
↖ ↑ ↗
← N 79.004438°
E 45.876159°		 ← 58.25 m → N 79.004438°
E 45.878906°		 →
↑
58.23 m
↓
↑
58.23 m
↓
N 79.003915°
E 45.876159°		 ← 58.26 m →
3 392 m²		 N 79.003915°
E 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627437591552734 y=0.127452850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627437591552734 × 217)
    floor (0.627437591552734 × 131072)
    floor (82239.5)     		tx = 82239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127452850341797 × 217)
    floor (0.127452850341797 × 131072)
    floor (16705.5)     		ty = 16705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82239 / 16705 ti = "17/82239/16705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82239/16705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82239 ÷ 217
    82239 ÷ 131072     		x = 0.627433776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16705 ÷ 217
    16705 ÷ 131072     		y = 0.127449035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627433776855469 × 2 - 1) × π
    0.254867553710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.80069003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127449035644531 × 2 - 1) × π
    0.745101928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.34080674534696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80069003} λ = 0.80069003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34080674534696))-π/2
    2×atan(10.3896149561851)-π/2
    2×1.47484194948087-π/2
    2.94968389896174-1.57079632675     		φ = 1.37888757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80069003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.876159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37888757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.004438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82239 KachelY 16705 0.80069003 1.37888757 45.876159 79.004438
    Oben rechts KachelX + 1 82240 KachelY 16705 0.80073797 1.37888757 45.878906 79.004438
    Unten links KachelX 82239 KachelY + 1 16706 0.80069003 1.37887843 45.876159 79.003915
    Unten rechts KachelX + 1 82240 KachelY + 1 16706 0.80073797 1.37887843 45.878906 79.003915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37888757-1.37887843) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dl = 58.2309399997647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37888757-1.37887843) × R
    9.13999999996307e-06 × 6371000     		dr = 58.2309399997647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80069003-0.80073797) × cos(1.37888757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190732957055051 × 6371000     		do = 58.254754550889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80069003-0.80073797) × cos(1.37887843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190741929254605 × 6371000     		du = 58.2574948915772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37888757)-sin(1.37887843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190732957055051-0.190741929254605)×R²
    abs(0.80073797-0.80069003)×8.97219955414696e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.97219955414696e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.97219955414696e-06×40589641000000     		ar = 3392.30890320221m²