Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8224 / 24672
↖ ↑ ↗
← N 40.580584°
W134.824219°		 ← 463.94 m → N 40.580584°
W134.818725°		 →
↑
463.87 m
↓
↑
463.87 m
↓
N 40.576413°
W134.824219°		 ← 463.97 m →
215 214 m²		 N 40.576413°
W134.818725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125495910644531 y=0.376472473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125495910644531 × 216)
    floor (0.125495910644531 × 65536)
    floor (8224.5)     		tx = 8224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376472473144531 × 216)
    floor (0.376472473144531 × 65536)
    floor (24672.5)     		ty = 24672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8224 / 24672 ti = "16/8224/24672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8224/24672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8224 ÷ 216
    8224 ÷ 65536     		x = 0.12548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24672 ÷ 216
    24672 ÷ 65536     		y = 0.37646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12548828125 × 2 - 1) × π
    -0.7490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35312653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35312653} λ = -2.35312653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.776194278647949))-π/2
    2×atan(2.17318596759015)-π/2
    2×1.1395305707757-π/2
    2.27906114155139-1.57079632675     		φ = 0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35312653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8224 KachelY 24672 -2.35312653 0.70826481 -134.824219 40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 8225 KachelY 24672 -2.35303065 0.70826481 -134.818725 40.580584
    Unten links KachelX 8224 KachelY + 1 24673 -2.35312653 0.70819200 -134.824219 40.576413
    Unten rechts KachelX + 1 8225 KachelY + 1 24673 -2.35303065 0.70819200 -134.818725 40.576413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70826481-0.70819200) × R
    7.28099999999232e-05 × 6371000     		dl = 463.872509999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70826481-0.70819200) × R
    7.28099999999232e-05 × 6371000     		dr = 463.872509999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35312653--2.35303065) × cos(0.70826481) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 463.936683476948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35312653--2.35303065) × cos(0.70819200) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.759539151315867 × 6371000     		du = 463.965614698937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70826481)-sin(0.70819200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.759539151315867)×R²
    abs(-2.35303065--2.35312653)×4.73621214600595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73621214600595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73621214600595e-05×40589641000000     		ar = 215214.184139678m²