Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8224 / 8224
↖ ↑ ↗
← S  0.703107°
E  0.703125°		 ← 2 443.03 m → S  0.703107°
E  0.725098°		 →
↑
2 443.02 m
↓
↑
2 443.02 m
↓
S  0.725078°
E  0.703125°		 ← 2 443.02 m →
5 968 368 m²		 S  0.725078°
E  0.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501983642578125 y=0.501983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501983642578125 × 214)
    floor (0.501983642578125 × 16384)
    floor (8224.5)     		tx = 8224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501983642578125 × 214)
    floor (0.501983642578125 × 16384)
    floor (8224.5)     		ty = 8224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8224 / 8224 ti = "14/8224/8224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8224/8224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8224 ÷ 214
    8224 ÷ 16384     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8224 ÷ 214
    8224 ÷ 16384     		y = 0.501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501953125 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(0.987803145726098)-π/2
    2×0.779262394250125-π/2
    1.55852478850025-1.57079632675     		φ = -0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8224 KachelY 8224 0.01227185 -0.01227154 0.703125 -0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 8225 KachelY 8224 0.01265534 -0.01227154 0.725098 -0.703107
    Unten links KachelX 8224 KachelY + 1 8225 0.01227185 -0.01265500 0.703125 -0.725078
    Unten rechts KachelX + 1 8225 KachelY + 1 8225 0.01265534 -0.01265500 0.725098 -0.725078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01227154--0.01265500) × R
    0.00038346 × 6371000     		dl = 2443.02366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01227154--0.01265500) × R
    0.00038346 × 6371000     		dr = 2443.02366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.01265534) × cos(-0.01227154) × R
    0.000383489999999998 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 2443.03082960319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.01265534) × cos(-0.01265500) × R
    0.000383489999999998 × 0.999919926556149 × 6371000     		du = 2443.01915337769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01227154)-sin(-0.01265500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999919926556149)×R²
    abs(0.01265534-0.01227185)×4.77904175877342e-06×R²
    0.000383489999999998×4.77904175877342e-06×6371000²
    0.000383489999999998×4.77904175877342e-06×40589641000000     		ar = 5968367.92931564m²